Consideriamo l'insieme [tex]U[/tex] di tutti gli [tex]x[/tex] tali che per ogni [tex]y \in U[/tex], [tex]y[/tex] non divide [tex]x[/tex] e [tex]x = n^2 + 1[/tex], con [tex]x[/tex], [tex]y[/tex], [tex]n[/tex] interi positivi.
Supponiamo per assurdo che [tex]U[/tex] sia composto da un numero finito di elementi e sia [tex]X[/tex] il suo elemento più grande. Per costruzione, [tex]X = n^2 + 1[/tex] e per ipotesi [tex](n+u)^2 + 1[/tex] è divisibile per un elemento [tex]a \in U[/tex] per ogni [tex]u[/tex] intero positivo. Quindi, [tex](n+u)^2 + 1 = X + 2nu + u^2 = X + u(2n + u)[/tex]. Tuttavia, è assurdo quando [tex]u[/tex] è uguale al prodotto di tutti gli elementi di [tex]U[/tex]. Infatti, se si considerasse un [tex]a \in U[/tex], [tex]a|X + u(2n + u)[/tex] se e solo se [tex]a[/tex] divide [tex]X[/tex], ma ciò non è vero per ipotesi.