Olimpiadi della Matematica Torino - OliMaTO - Forum

Perfect!

Sia $O$ il centro di una circonferenza. I punti $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ e $F$ sono presi sulla circonferenza, in quest'ordine, così che i triangoli $OAB$, $OCD$, e $OEF$ siano equilateri. Siano $L$, $M$, e $N$, i punti medi di $BC$, $DE$, e $FA$, rispettivamente. Prova che il triangolo $LMN$ è equil...

Se le baricentriche non funzionano, usiamo i complessi :lol: Fissiamo $a=0$ e $b=1$ con opportune trasformazioni. Dall'ipotesi sugli angoli si ricava che $\bigtriangleup ABC \sim\bigtriangleup ACD \sim\bigtriangleup ADE$, quindi la trasformazione che manda $b\rightarrow c$ è la stessa che manda $c\r...

Ero a arrivato a dire con LTE ma non riuscivo ad andare avanti.

Le soluzioni sono tutte e sole le quaterne $(2^{k},2^{k},2,2k+1)$ e $(2\cdot 3^k, 3^k, 3, 3k+2)$ con $k \in\mathbb{N}$, spero :) Con $p=2$, devo risolvere $a^2+b^2=2^c$. Se $c>1$ allora $a^2+b^2 \equiv 0 \bmod{4}$, essendo i residui quadratici $0$ e $1$, quindi $2 \mid a$ e $2\mid b$. Posso dividere...

Doppio pigeonhole =D Consideriamo solo i punti a coordinate intere per semplificare. Per pigeonhole, ogni $7$ punti in colonna almeno due sono colorati con lo stesso colore. I modi di scegliere $2$ punti su una colonna da $7$ e colorarli con lo stesso colore sono ${7 \choose 2} \cdot 6 = 126$. Quind...

$a_1+a_2 = 4$
$a_3+a_4 = 8$
...
$a_{99}+a_{100} = 200$
Sommando $a_1+...+a_{100}=4(1+...+50)=4\cdot\frac{50\cdot 51}{2}=5100$.

L'anno scorso, Cesenatico1 chiedeva un numero, ma non hanno tolto punti a chi non lo ha scritto, trovando comunque tutti i casi
Però dipende da chi corregge penso...

Forte.

PS: 2^{20} per il latex

FTMaker ha scritto:i multipli di 3 +1 dispari

i multipli dispari di $4$?