Olimpiadi della Matematica Torino - OliMaTO - Forum

La tua mi sembra corretta Per Titu consideriamo le triple $x,y,z$ e $\frac 1 y,\frac 1 z, \frac 1 x$ Applicando il Lemma si ottiene $x^2y+y^2z+z^2x\ge \frac {(x+y+z)^2} {\frac 1 x+\frac 1 y+\frac 1 z}$ Poniamo $S=x+y+z$ Abbiamo $x^2y+y^2z+z^2x\ge \frac {xyzS^2} {xy+yz+xz}=\frac {S^2} 3$ Quindi dobbi...

O anche

Nel passo induttivo Il caso con $4$ termini Supponendo di sommarli a coppie si ottiene $\frac {x_1+x_2} {x_1x_2}+\frac {x_3+x_4} {x_3x_4}=n$ Ma questo non si può ridurre al caso con $2$ termini perchè non è detto che esistano $m_1,m_2\in \mathbb N$ tali che $\frac {x_1+x_2} {x_1x_2}=\frac 1 {m_1},\f...

Non sono sicuro sia lecito

Infatti per quanto scritto non è detto che quelle somme di $2$ elementi diano valori del tipo $\frac 1 n$

Con $3$ reali si possono fare $2$ $WLOG$ Il primo con $a\ge b\ge c$ e il secondo con $b\ge a\ge c$ Infatti siano $n_1\ge n_2\ge n_3$ una permutazione di ${a,b,c}$ Allora se $n_1$ ha esponente $n_2$ necessariamente $n_2$ avrà esponente $n_3$ e $n_3$ avrà $n_1$ Se $n_1$ ha esponente $n_3$ allora $n_2$...

Hint $1$ Hint $2$ Hint $3$ e quasi soluzione

Metteteci $m$ al posto di $a$

Beh dai non sembra così brutto all'inizio e poi alla fine è proprio bello

$\forall n\in \mathbb N$ e $\forall p\in \mathbb N$ tale che $1\le p\le n-1$

Beh in analitica viene in fretta questa!!

In sintetica non saprei, non l'ho ancora provata

E comunque se volevi farlo col limite quella era una forma indeterminata anche messa come frazione
Cioè il denominatore non viene così