Olimpiadi della Matematica Torino - OliMaTO - Forum

Ti lascio un suggerimento per la soluzione bella Sia P(n)=det(A+nB) [...] $P(n) = (\det B) n^2 + \det A + T$ non può essere una parabola perché le ipotesi insieme al principio dei cassetti ci dicono che dovrebbe assumere lo stesso valore in almeno tre punti(cosa impossibile per una parabola) quindi...

Soluzione brutalmente bovina. Una matrice $\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}$ a entrate in $\mathbb{Z}$ è invertibile e la sua inversa ha entrate in $\mathbb{Z}$ se e solo se ha determinante $\pm 1$: Se ha determinante $\pm 1$ chiaramente è invertibile e la sua inversa ha entrate in...

Bella la seconda dimostrazione. Un altro metodo(equivalente al tuo) consiste nel considerare le trasformazioni lineari associate, ricordando che una matrice è invertibile se e solo se la freccia associata è un isomorfismo. Si ha dunque $$V_1 \xrightarrow{f} V_2 \xrightarrow{g} V_3$$ con $gf = 0$, da...

Se $AB = 0$ e le matrici $A$ e $B$ non sono nulle allora sono entrambe singolari. @enigma, ovviamente facendo i conti torna, quello che chiedevo è se hai usato qualche metodo generale per scomporre un tipo particolare di matrice nel prodotto di due matrici triangolari o se è solo per questa particol...

@enigma, non riesco ad arrivarci, hai usato qualche proprietà particolare per scomporre in quel modo la matrice? Bonus: Ricordando che le matrici formano un anello si ha dalle due relazioni che $(A - B)(A^2 + AB + B^2) = 0$ e $(A - B) AB = 0$ da cui $(A - B)(A^2 + B^2) = 0$, la matrice nella prima p...

Visto solo ora, dato che nessuno lo ha fatto rispondo io :mrgreen: L'idea che ho avuto è abbastanza semplice, solo un po' noiosa da scrivere bene formalmente, quindi considero $n = 4$ e poi tiro fuori la formula generale. $$ A = \left(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & \frac{1}{2} &...

inb4, la successione \(a_n\) è crescente quindi \(a_{n+1} - a_n \geq 1\), inoltre \(b_n\) è una successione crescente che parte da \(0\) e tende ad infinito (è ovvio data la disuguaglianza alla fine, ma andrebbe detto) perciò ci dovrà essere un certo \(n\) tale che \(b_n < a_0 \leq b_{n+1}\). Bella ...

Ha senso :D Dato che nessuno si oppone posto qualche altro esercizio. 1 - Siano \(a\), \(b\) due elementi di un gruppo, dimostrare che \(|ab| = |ba|\) dove \(|\cdot|\) indica l' ordine di un elemento . Hint: Dimostrare che se \(x\) e \(g\) sono due elementi di un gruppo allora \(|x| = |g^{-1} x g|\)...

Basta dire che \(*\) deve essere un'operazione binaria interna, dove operazione è sinonimo di funzione; la chiusura in genere è qualcosa da controllare affinché un sottoinsieme sia un sottogruppo. L'Herstein purtroppo è strano come libro. \(2a = 0\) significa che \(a = - a\). Perciò \(a + b = - a - ...

@enigma: immagino si possa interpretare anche come isomorfismo tra due strutture algebriche senza operazioni, ma concordo sul fatto che potrebbe far (ingiustamente) pensare che le usuali operazioni sui numeri naturali siano in qualche modo preservate. Volendo essere un pizzico più pignoli, si può os...