Olimpiadi della Matematica Torino - OliMaTO - Forum

Da ciò che ha dedotto matpro98 si può concludere facilmente così. $2^k || (a-1)(b+1) \Rightarrow (a-1)({2^n}-1+a)$ poichè $a$ è dispari. Ma $(a-1)({2^n}-1+a) = (a-1)2^n - (a-1)^2$. Ora è ovvio che sia una potenza di $4$ a dividere esattamente $(a-1)^2$ quindi se dimostriamo che $v_2((a-1)2^n))>v_2((...

Dal momento che $a$ è $\leq 1$ e $\ge 0$ vale $a^{n+1}\le a^n$ (e quindi stessa cosa per $b$ e $c$) per ogni $n$ intero positivo, pertanto $$a^2b+b^2c+c^2a+1 \ge a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2+1$$ quindi se dimostriamo che $$a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2+1\ge a^2+b^2+c^2$$abbiamo finito. Dividiamo il problema in due ...

Determinare tutti gli interi $n\ge2$ tali che esistono $l \ge 2$ razionali positivi $a_1,a_2,\cdots,a_l$ tali che $$a_1+a_2+\cdots +a_l = a_1a_2\cdots a_l = n$$

Sia $ABC$ un triangolo iscoscele ma non equilatero di base $BC$. Sia $I$ l'incentro e sia $D$ il piede della bisettrice dell'angolo in $B$. Sia $J$ il simmetrico di $I$ rispetto $AC$ e $E$ l'intersezione fra $AI$ e la perpendicolare ad $AC$ passante per $D$. Dimostrare che $B,D,J,E$ costituiscono i ...

Lo_09 ha scritto:Prova con le somme cicliche o con il bounching

In realtà viene in parecchi altri modi molto meno tecnici e contosi, anzi direi che questa disuguaglianza è parecchio bella (anche se facilotta) proprio per l'esistenza di molteplici soluzioni parecchio pulite.

Sia $n$ un intero positivo. Abbiamo $2n$ punti nel piano, $n$ di colore Rosso e $n$ di colore Blu. Dimostrare che è possibile tracciare $n$ segmenti tali che
i) gli estremi di tali segmenti sono punti di colore diverso
ii) nessuna coppia di segmenti costruiti si intersecano fra di loro.

Siano $a,b,c$ tre numeri reali positivi tali che $\min (ab,ac,bc) \ge 1$. Dimostrare la seguente disuguaglianza $$\sqrt[3]{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)} \leq \left( \frac{a+b+c}{3} \right) ^2 + 1$$

Facile anche questo È molto relativo, ora che i problemi difficili vengono messi soprattutto su oliforum questo messo qui non è per niente facile, cioè insomma, per te o per cip o per bern sarà facile, ma quel titolo dà un po' l'idea di un problema che tutti possono ragionevolmente provare... Non h...

É il circocentro del triangolo $ABC$.

Sia $ABC$ un triangolo acutangolo con $AB > AC$. Sia $M \ne B$ l'intersezione fra la bisettrice di $\angle ABC$ è la circoscritta ad $ABC$. Sia $\Omega$ la circonferenza di diametro $BM$. Le bisettrici degli angoli $AOB$ e $BOC$ incontrano $\Omega$ nei punti $P,Q$ , rispettivamente. Sia $R$ un punto...