Olimpiadi della Matematica Torino - OliMaTO - Forum

Temo manchi l'ipotesi per cui ci sono solo un numero finito di giorni di scuola: senza questa, tutto il ragionamento cade (e in particolare la tesi diventa falsa...).

Sia $M$ l'intersezione di $ST$ e $EK$, nonchè il punto medio di $ST$. Sia $A'$ l'intersezione di $MC$ con la perpendicolare a $EK$ passante per $E$. Sia $Q$ un punto sulla tangente a $\omega_2$ in $C$ dalla stessa parte di $E$ rispetto a $OK$. $E$ è polo di $ST$ rispetto a $\omega_2$, perciò $KM\cd...

Giacopo è impegnato in vicende amorose nella rinomata città di Bucarest. È San Valentino, e Giacopo deve conquistare la bellissima Alecsandra: quale regalo è più romantico e meno banale di una (o più...) scatole di cioccolatini? In pasticceria, Giacopo si trova di fronte a una stringa apparentemente...

Determinare per quali $\alpha\in\mathbb{R}^+$ esiste una successione $\{a_n\}_{n\ge1}$ di numeri reali positivi con le seguenti caratteristiche:

• $a_1+a_2+\ldots+a_n\le n^\alpha\quad\forall n\ge 1$
• $\exists A\in\mathbb{R}:\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_n}<A\quad\forall n\ge 1$

Quella di usare i polinomi di Chebycheff era una buona idea. Ricordiamo brevemente che i polinomi di Chebycheff sono una famiglia di polinomi $T_n(x)$ tali che $$ \begin{cases} T_0(x)=1\\ T_1(x)=x\\ T_{n+1}(x)=2xT_n(x)-T_{n-1}(x) \end{cases} $$ Chiamiamo per comodità $$ T_n(x)=\sum_{i=0}^n a(n,i)x^i...

Così tanto per svago metto una soluzione che fa uso solo delle cardinalità degli insiemi e roba del genere. Tracciamo una retta a caso non per $P$ e chiamiamola $\ell$. Esiste un'ovvia bigezione fra le rette del piano non parallele a $\ell$ passanti per $P$ e i punti di $\ell$ (per ogni punto di $\e...

Lasker ha scritto:BONUS INUTILE: qual è la cardinalità dell'insieme delle rette che vanno bene, fissato $P$?

(se avete fatto i primi 2 è ovvio, ma aggiunge qualcosina alla risposta)

Quanto mi piacciono i problemi in cui serve

What a beautiful problem!! Indeed! Allora cominciamo con un po' di cose. Sia $A=\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}$ un insieme di interi positivi coprimi, con $a_1<a_2<\ldots<a_n$. Sia $\Pi=a_1\cdot a_2\cdots a_n$. Sia $\mathfrak{K}=\{k\in \mathbb{Z}:0\le k\le \Pi, \exists a_i (a_i\mid k)\}=\{k_1, k_2,\ldots, ...

Ho sistemato il typo e aggiunto la dimostrazione per numeri non coprimi con il modulo. La dimostrazione dovrebbe funzionare per tutti i primi e senza restrizioni A parte l'infelice scelta di $k$ per indicare due cose diverse e il fatto che a un certo punto il modulo (se non ho capito male) dovrebbe...

$p$-ppuccetto passò un sacco di tempo cercando una colorazione dei sentieri che soddisfacesse le condizioni imposte dal lupo cattivo. Passarono circa $\text{Ackermann}(6)$ minuti da quando aveva iniziato a pensarci, ma non aveva assolutamente nessuna idea: non era nemmeno in grado di claimare che u...