Olimpiadi della Matematica Torino - OliMaTO - Forum

Saro00 ha scritto:Non capisco ancora, un altro hint ?

Complimenti a tutti (in particolare a Drago: è mai successo prima che qualcuno andasse nello stesso anno a RMM, BMO e IMO?).

Voglio un numero di ori che sia primo o una potenza di primo.

Saro00 ha scritto:Hint?

Serve una corrispondenza biunivoca.

Si fa abbastanza agevolmente con l'analisi.

luca nalon ha scritto:Non riesco a proseguire dal tuo punto...

In effetti non si può, mi sono sbagliato. Comunque, ho trovato la soluzione su Wikipedia.

Non mi è chiaro l'ultimo passaggio.. potreste spiegarmi meglio? Scusa il ritardo nella risposta. Moltiplicando per i denominatori, abbiamo $$ n^{n+1} a_1a_2\cdots a_{n+1} < (a_2+a_3+\cdots a_{n+1} )(a_1+a_3+\cdots a_{n+1} )\cdots (a_1+a_2+\cdots a_n). $$ E la diseguaglianza è verificata per bunchin...

Wait, chi sei? Colui il quale ti ha fatto vedere il problema in questione nell'allenamento per Cesenatico del 2015-04-20 a Monte S. Angelo. Bel problema! E in più ammette sia una soluzione con generatrici che una puramente combinatoria. Se vuoi c'è anche la generalizzazione "$q$-analoga":...

Poniamo $a_{n+1} := 1 - (a_1 + ... + a_n)$; la diseguaglianza si riscrive come $$ \frac{a_1}{1-a_1}\cdots\frac{a_n}{1-a_n}\frac{a_{n+1}}{1-a_{n+1}}\le\frac{1}{n^{n+1}} $$, cioè $$ \frac{a_1}{a_2+\cdots+a_{n+1}}\frac{a_2}{a_1+a_3\cdots+a_{n+1}}\cdots\frac{a_n}{a_1+\cdots+a_n}\le\frac{1}{n^{n+1}} $$ ....

( lucaboss98 lo conosce già) Prendiamo un numero, ad esempio 5. Scriviamo le sue partizioni, e segnamo vicino a ciascuna quanti sono i numeri distinti che vi compaiono: (1) 5 (2) 4+1 (2) 3+2 (2) 3+1+1 (2) 2+2+1 (2) 2+1+1+1 (1) 1+1+1+1+1 La somma dei numeri in grassetto è 12, e ci sono 12 uni in tutt...

Perfetto.