Olimpiadi della Matematica Torino - OliMaTO - Forum

Questo problema lo ricordo bene: nella mia squadra lo risolsi io in gara. Anche le facce andavano contate come piani passanti per tre punti. In particolare, vi sono 4 tipi di piani: - le facce dell'icosaedro: 20. - i pentagoni: ce n'é uno per ogni vertice. Quindi 12. - i rettangoli aurei: ce n'é uno...

Benvenuto, concittadino!

No, in realtà avevo notato una successione per ricorrenza e poi ho dimostrato che funziona.

Per il secondo, il ragionamento é del tutto simile, solo che non c'é simmetria fra pavimento e soffitto, mentre vi é fra le 4 pareti laterali. Essendo [tex]p(2n)[/tex], [tex]p(2n+1)[/tex] la probabilità di trovarsi sul pavimento dopo [tex]2n[/tex] e [tex]2n+1[/tex] passi, si ha:

Siano a(n),b(n),c(n),d(n) le probabilità di trovarsi nell'osteria A,B,C,D dopo n spostamenti. Si nota che dopo il primo spostamento le osterie A,D sono simmetriche e lo stesso vale per B,C . Quindi siano: A(n)=a(n)+d(n)=2a(n) e B(n)=b(n)+c(n)=2b(n) . Per come sono collegate le osterie vale la ricor...

Associamo ad ognuno dei 27 cubetti la terna di coordinate intere (x,y,z) con 0<x,y,z<4 . Sia C_1,...,C_n la sequenza di cubetti attraversati dalla retta, dove C_1 ha somma delle coordinate minote o uguale rispetto a tutti gli altri C_i . Si osserva che quando la retta passa da un certo C_k a C_(k+1...

Qualcuno sa quale sia il criterio di qualificazione alla fase nazionale?

Prendiamo le due successioni, per n naturale: a_n=(3-√3)/12 (2+√3)^n+(3+√3)/12 (2-√3)^n+1/2, b_n=(√3-1)/2 (2+√3)^n-(√3+1)/2 (2-√3)^n Allora, svolgendo i calcoli, si trova che 12a_n^2-12a_n+1=b_n^2 ,∀ n∈N . Inoltre le due successioni corrispondono, rispettivamente, a a_0=1,a_1=1,a_(n+2)=4a_(n+1)-a_n...

Supponiamo che esistano 15 siffatti compositi. Proviamo a costruirli:per minimizzarli, ognuno di essi deve essere il prodotto di esattamente due primi distinti. Inoltre due qualunque fra i 15 numeri non possono avere nessun primo in comune (altrimenti non sarebbereo coprimi). Quindi bisogna sceglie...

Scelgo la trigonometria. Sia WLOG unitario il lato del quadrato. Allora se BAN=φ e DAM=ψ , segue che MC=1-tanψ e che NC=1-tanφ . Quindi per Pitagora MN^2=(1-tanφ)^2+(1-tanψ)^2 . Ponendo la condizione del problema MC+NC+MN=2 in funzione di φ, ψ si ottiene tanφ+tanψ=1-(tanφ)(tanψ) , ossia tan(φ+ψ)=1 ....