Olimpiadi della Matematica Torino - OliMaTO - Forum

mr96 ha scritto:

alex00 ha scritto:Quali sono stati i cut-off a Torino?

7/12/18
Domani cerco di mettere i testi e le classifiche fino a ora!

Bassini (meglio così )

Quali sono stati i cut-off a Torino?

Capito, ora magari mi metto un po' e provo. La mia idea è di trovare un limite inferiore sopra il quale posso sempre rendere la mia nuova soluzione \(c<b\). Perciò limitando i casi possibili sotto quel limite si può provare a vedere cosa succede a \(k\). Ora se il limite fosse \(2\) avremmo vinto.

Mh giusto, si mi ero sbagliato sulla serie pardon. Ad ogni modo dimostrando che è decrescente e che il minimo è proprio\(1\) e sapendo che per tutti questi valori della serie \(k\) è lo stesso posso trovarlo sostituendo i valori minimi (che appunto sono \(a=b=1\)) e trovo che \(k=1\). È giusto ragio...

Per quanto il mio giudizio sia di poca importanza posso dire che sembra una bella soluzione. Ad ogni modo avrei una domanda: usando le formule di Vieta si ricava che le soluzioni formano una serie \((a,b,\dfrac{b^2+1-k}{a},...)\). Ora affinché questi interi siano positivi devo avere \(b^2+1-k>0\) e ...

Ouch! Mi dispiace per te. In effetti è abbastanza bastardo come problema. Alla fine mettendomi di santa pazienza sono riuscito per metà a risolverlo. Nonostante tutto ancora non ho trovato in giro una soluzione completa.

Dopo mezz'ora di tentativi sono finalmente giunto alla soluzione :D Come è noto un po' a tutti \(\underbrace{11\ldots1}_n\) ovvero \(n\) "uni" si può scrivere come \(\dfrac{10^n-1}{9}\). Quindi il numeraccio con \(2006\) quattro e \(2006\) uno si può riscrivere come \(\dfrac{10^{2006}-1}{9...

Prego, comunque l'hint di Mr96 è utile per dimostrare che nel momento in cui dovessi scegliere due numeri che sono nella stessa classe di congruenza automaticamente la loro differenza sarà divisibile per \(111\)

Hintone

Beh si. Anche se a dire il vero non ho ben capito cosa chiede la "traccia". Cioè se \(ab\) non è un quadrato...non potrà mai un suo residuo \(\pmod p\) essere appunto un residuo quadratico. O ho capito completamente male la traccia oppure è alquanto strana come cosa.