Olimpiadi della Matematica Torino - OliMaTO - Forum

Scusate ma il n. 16 come si faceva? (Quello del quadrato da dividere in triangoli)

Forse questo problema non è molto olimpico (però non saprei dove metterlo se non qui). Sia $f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ una funzione reale definita nell'intervallo [a,b] e strettamente crescente. Sia $g: f([a,b]) \rightarrow [a,b]$ tale che $g(f(x))=x$ per ogni $x \in [a,b]$ e che $f(g(y))=y$ pe...

Allora, se A lo piazzo al primo o ultimo posto della fila di sopra, ho $6 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$. Se A è in uno dei posti intermedi della fila di sopra, ho $6 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ possibilità di piazzare gli altri. Lo stesso se A è agli estremi d...

A me verrebbe da farlo così:
Tutti i casi possibili sono $8!$. Quelli sbagliati (contando AB uniti) sono $2 \cdot 6!$. È possibile?

Si, scusatemi ma non resistevo

Otto amici $A,B,C,D,E,F,G,H$ vanno al cinema. Sono rimasti 5 posti in una fila e 3 in quella davanti. In quanti modi possono sedersi sapendo che $A$ e $B$ non vogliono stare vicini?
Potreste darmi un aiuto?

Per quelli che si stanno cimentando per le prime volte con le funzionali, eccone una abbastanza semplice da provare.

Trovare tutte le funzioni [tex]f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/tex], con [tex]x,y \in \mathbb{R}[/tex], tali che

[tex]f(f(x) \cdot f(y)) + f(x+y) = f(xy)[/tex]

Vedo che a e b o sono entrambi pari o entrambi dispari. Parto dalla seconda ipotesi e provo i vari casi con a il più piccolo possibile ovvero a=1 . Sostituendo b con 3,5,7 noto che 1^2 + 7^2 = 2 \cdot 5^2 e per induzione vale per tutte le terne 1k,7k,5k con k intero. Si dimostra che c=5 è il più pic...

Qualcuno sa cosa sia successo al forum olifis?
Perché a me non fa più vedere alcuni messaggi, non ci sono più dei link ne le formule in latex e inoltre non fa mandare messaggi privati (senza poter contattare gli admin quindi)

Grazie a entrambi!