Olimpiadi della Matematica Torino - OliMaTO - Forum

Ogni numero intero viene colorato con uno di due colori, rosso o blu. Sappiamo che, per ogni insieme finito \mathbb A di interi consecutivi, il valore assoluto della differenza tra il numero degli interi rossi e il numero degli interi blu nell’insieme \mathbb A è al piu 1000. Dimostrare che esiste u...

Nel triangolo ABC supponiamo di avere BC>AC . Sia M il punto medio di AB , e siano \alpha, \beta le circonferenze inscritte, rispettivamente, ai triangoli ACM e BCM . Siano poi A' , B' i punti di tangenza di \alpha, \beta con CM . Dimostrare che \displaystyle A'B'=\frac{BC-AC }2 (1) Detti P,P' i due...

Un modellino di automobile viene testato su alcuni circuiti chiusi lunghi 600 metri, composti da tratti piani e tratti in salita o discesa. Tutti i tratti in salita e in discesa hanno la stessa pendenza. I test mettono in risalto alcuni fatti curiosi: (a) la velocità del modellino dipende solo dal f...

Sia n>1 un intero positivo e \mathbb S= \{ 1,2...,n^2-1 \} . Diremo che un numero a \in \mathbb S è bello se esiste b \in \mathbb S tale che n^2 \mid ab-b . Diremo inoltre che un numero a \in \mathbb S è fantastico se n^2 \mid a^2-a . Siano g,v il numero di interi belli e interi fantastici rispettiv...

Mi sa che non ho capito il testo, cioè se io prendo un quadrato (che è un parallelogramma) e $O$ l'intersezione delle diagonali, la somma $\angle AOB + \angle COD=180$ però $\angle OCD=45 \not = \angle OBD=0$

Non so come è risolto nelle ufficiali, ma comunque: Ricordiamo che vale (*) \ a^{\phi (n)} \equiv 1 \pmod n (teorema di eulero-fermat), ad esempio \phi (4)=2 per cui n^2 \equiv 1 \pmod 4 Da n^{2015} \equiv 63 \pmod{100} troviamo: n^{2015} \equiv 3 \pmod{4} , usando la (*) si trova n^{2015} \equiv n ...

Gara fondata sulla combinatoria, combinatoria ovunque, tdn a sfondo combinatorico.

A parte questo davvero bei problemi
Quando se ne potrà parlare nello specifico?

Ah e si, intendevo l'inverso del teorema delle corde, ovvero che se due segmenti (tu non sai a priori che sono corde) rispettano il teorema delle corde allora sono corde di una stessa circonferenza

La cosa delle bisettrici l'avevo fatta la scorsa estate in trigonometria tra l'altro

In gara può essere dato per noto che un quadrilatero è inscrivibile se e solo se il punto di intersezione delle due diagonali ha la stessa potenza rispetto alle due diagonali?

E se ho un triangolo con due mediane/altezze/bisettrici uguali posso dire che è iscoscele o devo dimostrare?