Olimpiadi della Matematica Torino - OliMaTO - Forum

L'ho scritto sopra: forse :lol: O forse qualche stagista, se è iscritto e se avrà voglia... Anzi, potreste postare il problema che vi interessa in esercizi :D Posto i problemi dimostrativi di questi due giorni (in totale 16 problemi) La difficoltà è variabile, una stima rapida potrebbe essere dall'1...

Ahahah, mi spiace ma noi torninesi siamo brutti e cattivi e facciamo gli stage solo per noi

Comunque, posto intanto i cosiddetti "problemoni", ovvero dei problemi particolarmente belli e difficili proposti al di fuori dello stage, per essere risolti in un tempo indeterminato...

In questi giorni al Copernico si tiene lo stage pre-Cesenatico per individuali e squadre, tenuto dal prof. Illengo e dal sottoscritto. Proporremo problemi da gare a squadre e dimostrativi; in questo topic metterò i testi, e se mai avrò voglia qualche soluzione xD Se avete un qualunque dubbio, scrive...

Rho33 ha scritto:ma perchè vale $v_3(z)=v_3(\bar z)$ ?

Quasi per definizione: $3^\alpha\mid x+iy$ se e solo se esiste un intero di Gauss $w+it$ tale che $x+iy=3^\alpha(w+it)$, e confrontando le parti reali e immaginarie si ha che $3^\alpha\mid x,y$; quindi vediamo che $3^\alpha\mid x+iy\iff3^\alpha\mid x-iy$.

Ecco l'inghippo: http://www.oliforum.it/viewtopic.php?f=15&t=17618

L'unica soluzione swag è palesemente questa: In $\mathbb Z $, $3$ è primo (per le solite osservazioni). Prendiamo allora la valutazione $3$-adica di entrambi i membri e vediamo che $v_3(a+ib)+v_3(a-ib)=1+v_3(c+id)+v_3(c-di)$; ma è abbastanza ovvio che $v_3(z)=v_3(\bar z)$, quindi avremmo che un pari...

In realtà non c'è nemmeno bisogno di quest'ultima parte... Chiede di "dimostrare che è almeno..." e una volta che hai la disuguaglianza sei a posto.
Discorso diverso sarebbe stato se avesse chiesto "trova il minimo", e a quel punto occorreva trovare anche l'esempio...

Il fatto qua citato dovrebbe essere piuttosto noto, e non è necessaria l'altra freccia del link di wiki (che si fa in un miliardo di modi); direi che si può usare abbastanza tranquillamente in gara. In particolare $p\mid x^2+1$ si riscrive come $x^2\equiv-1\pmod p$ ovvero $x^4\equiv1\pmod p$. A ques...

A te ;) https://en.wikipedia.org/wiki/Zsigmondy's_theorem e anche una dimostrazione elementare (ma con un po' di teoria): http://users.ugent.be/~bmichels/files/zsigmondy_en.pdf In ogni caso direi che questo teorema non è troppo ben visto, ed è consigliabile risolvere la diofantea in altri modi... Po...

Chiedo perdono, ma non posso resistere :lol: Siano $a,b$ nell'ordine i due lati mancanti Mettiamo l'esagono nel piano complesso con il lato $a$ lungo l'asse reale e percorrendolo in senso antiorario ad $a$ segue $b$. Detta $\omega=e^{\frac{2\pi}6}$ la radice sesta più piccola, abbiamo che $a+b\omega...