Olimpiadi della Matematica Torino - OliMaTO - Forum

Ahahahah sì, forse (ma anche senza forse) il livello non va bene, ma ho trovato il testo in una dispensa su Combinatorial Nullstellensatz e dunque sapendo che doveva esserci nella soluzione è diventato fattibile dopo un po' :mrgreen: Quando accendo il pc magari metto qualche hint dato che in effetti...

Dato $n\in\mathbb{Z^+}$ sia $$S=\left\{(x,y,z):x,y,z\in\left\{0,1,2,\ldots,n\right\},x+y+z>0\right\}$$ un insieme di $(n+1)^3-1$ punti nello spazio. Qual è il numero minimo di piani la cui unione contiene $S$ ma non il punto $(0,0,0)$?

Buona!
È India IMO training camp 2016 TST 4 problema 2

Trovare tutte le $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tali che
$$f(x^3+f(y))=x^2f(x)+y$$
Il livello l'ho messo per come l'ho trovato io, non per la fonte...

Allora... chiamiamo $Z=CE\cap FD$, $X$ l'intersezione diversa da $E$ di $CE$ con $\omega_1$, $Y$ l'intersezione diversa da $F$ di $DF$ con $\omega_2$. Se mostriamo che $EFYX$ è ciclico è fatta: considerando $(EFXY)$, $\omega_1$ e $\omega_2$ gli assi radicali di queste circonferenze a 2 a 2 devono p...

Sì, in realtà mi sono accorta solo adesso che me l'hai detto che quei due segmenti sono bisettrici, mi sono fiondata senza neanche pensarci sulla trigonometria...
Carino il lemma!

Soluzione Sia $L=PL\cap BC$. Per Ceva applicato al triangolo $\triangle ABC$ usando il punto $P$ abbiamo $\dfrac{AF}{FB}\cdot\dfrac{CE}{EA}=\dfrac{LC}{BL}$ Ora per Menelao guardando il triangolo $\triangle ABC$ i punti $D,E,F$ sono allineati se e solo se $\dfrac{AF}{FB}\cdot\dfrac{CE}{EA}=-\dfrac{DC...

Le uniche funzioni che soddisfano sono $f(x)=-1$ e $f(x)=x+1$ Chiamiamo $P(x,y)$ l'espressione delle ipotesi. Da $P\left(0, f(0)\right)$ otteniamo $$f(-f(f(0)))=f(f(0))-f(f(0))-1$$ $$f(-f(f(0)))=-1 \hspace{2cm} (1)$$ Da $P\left(x, -f(f(0))\right)$ ricaviamo $$f(x-f(-f(f(0))))=f(f(x))-f(-f(f(0)))-1$...

$D_1E_1D_2E_2D_3E_3$ è ciclico Si considerino i triangoli $\triangle ADD_3$ e $\triangle AEE_1$: sono rettangoli rispettivamente in $D_3$ e $E_1$ ed hanno per ipotesi $\widehat{D_3AD}=\widehat{E_1AE}$; quindi sono simili, in particolare $\frac{AD_3}{AE_1}=\frac{DA}{AE}$. In modo analogo si può most...

Giusto, non mi ero proprio posta il problema di $n=1$