Olimpiadi della Matematica Torino - OliMaTO - Forum

Sono io stupido, o il livello degli esercizi é diventato stra sballato (tipo -2 in media) Ahahah, penso che molti facciano questo ragionamento: meglio demoralizzare gli altri mettendo un livello troppo basso che passare da stupidi mettendone uno troppo alto. In particolare [L05] per un IMO6 (lascia...

Poniamo per comodità $x_1\le x_2\le\cdots\le x_n$. Supponendo l'assurdo si ha quindi che $$\frac{x_i-x_j}{x_ix_j+2x_j+1}\ge\frac{1}{n-2}\ \ \forall i>j.$$Con qualche passaggio algebrico si ottiene che questo è equivalente a supporre che $$\left(n-2-x_j\right)x_i\ge nx_j+1\ \ \forall i>j.$$Dal moment...

$H_1$ e $H_2$ si ottengono a partire da $D$ e $A$ rispettivamente, tramite una simmetria rispetto al punto medio di $MN$. Questo perché sia $MH_1ND$ che $MANH_2$ sono parallelogrammi (i vari parallelismi si notano bene sfruttando le varie perpendicolarità). Allora si ha sia che $H_1H_2=AD$, e che $H...

Sia $ABC$ un triangolo e $\Gamma$ la sua circoscritta. Supponiamo che un punto $P$ interno ad $ABC$ sia tale che $$\frac{AP+PB}{AB}=\frac{BP+PC}{BC}=\frac{CP+PA}{CA}.$$ Siano adesso $A'=AP\cap\Gamma,\ B'=BP\cap\Gamma,\ C'=CP\cap\Gamma$. Dimostrare che l'incerchio di $ABC$ e quello di $A'B'C'$ coinci...

Ritento un'altra (e spero l'ultima!) volta. Consideriamo ancora una volta la tassellazione delle $n+1$-eliche di un certo colore $i$ fissato: al momento sappiamo solo che non contiene sovrapposizioni. Supponiamo quindi che esista un quadratino non appartenente alla tassellazione: l'$n+1$-elica incen...

ahahaha, hai ragione, come sono intelligente

Forse si dovrebbe poter aggiustare dicendo che la distanza massima tra due quadratini in una stessa $n+1$-elica è proprio $4n$, quindi una qualsiasi $n+1$-elica contiene tutti colori distinti. A questo punto se uno prende una $n+1$-elica a caso la colora con una colorazione che non usi due volte uno...

Sì, era quello il mio dubbio infatti.

Per la tassellazione sì, penso proprio che sarebbe stato necessario dimostrare l'unicità.

Grazie, correggo subito!!

Allora, vuoi che spieghi meglio cosa si intende per algoritmo euclideo? Perchè è esattamente quello.
Esempio:

$\gcd(f_1(12),f_1(8))=\gcd(f_1(4),f_1(8))=\gcd(f_1(4),f_1(4))=f_1(4)$
infatti $\gcd(12,8)=4$

Ora sono un po' stanco, quindi non sono stato a spiegare minuziosamente ogni cosa, comunque se mi dici cosa non è chiaro, o magari sbagliato, domani cerco aggiustarlo e/o di spiegarlo meglio.. :) Si prenda un generico $v=\prod_{i=1}^kp_i^{\alpha_i}$ con i $p_i$ tutti primi distinti tra loro. $LEMMA\...