Olimpiadi della Matematica Torino - OliMaTO - Forum

Lo posto solo perché lo ho risolto in modo molto triste ( o molto swag, a seconda di chi giudica ) ... viene da una gara a squadre E' dato un triangolo equilatero ABC di lato 60 cm ... Abbiamo anche un punto P all'interno del triangolo tale che [PCB]=[PAC]/2=[PAB]/3 ... Determinare e calcolare la pi...

Trovare tutte le funzioni [tex]f:\mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}[/tex] tali che
[tex]\begin{equation} f(f(x)+xf(y))=x+yf(x) \end{equation}[/tex]
per ogni coppia di numeri razionali [tex]x,y[/tex]

Ah ok ottimo ... Dai un punto a del 6 così anche quest'anno farebbe comodo

Ma è il problema che è semplice o sono io che ho trovato una soluzione furba ? Una casella è bella se sulla sua riga ci sono più caselle del suo stesso colore, gnocca se questo accade sulla colonna ... chiaramente una casella bella e gnocca è speciale. Ci sono almeno (n+1)(2m+1) caselle gnocche ed a...

No, nessuno ti assicura che quel [tex]k[/tex] sia fisso ... per alcune coppie [tex](m,n)[/tex] potrebbe valere [tex]2[/tex] e per altre [tex]34235[/tex] ... Comunque si le soluzioni sono quelle ma la dimostrazione non è valida ...

Si, direi che in una gara ben equilibrata sarebbe un buon 4° problema ... ed un 4 di geometria non esce da due anni mi sembra ...

A Cesenatico dove potrebbe stare? Più 1-2 o 3-4 ?

Ottimo, o anche senza nominare i coniugati isogonali

Sia [tex]ABC[/tex] un triangolo con [tex]A = \angle 90°[/tex] e [tex]AB<AC[/tex]. Sia [tex]AD[/tex] l'altezza da [tex]A[/tex] su [tex]BC[/tex]. Siano [tex]P,Q,I[/tex] rispettivamente gli incentri di [tex]ABD,ACD,ABC[/tex]. Dimostrare che [tex]AI[/tex] è perpendicolare a [tex]PQ[/tex] e che [tex]AI=PQ[/tex]

Trovare tutte le funzioni [tex]f: \mathbb{Z}^+ \rightarrow \mathbb{Z}^+[/tex] tali che [tex]\forall m,n \in \mathbb{Z}^+[/tex] si abbia ;
[tex]\begin{equation} m-n|f(m)-f(n) \\ f(m!)=f(m)! \end{equation}[/tex]