Olimpiadi della Matematica Torino - OliMaTO - Forum

So che è presto, ma mi sono bloccato da due giorni a cercare una soluzione sintetica e non faccio passi avanti ... invoco un hintino ...

Problema carino lasciato qui da troppo :roll: WLOG x_1 \neq x_2 Notiamo che x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}=x_{n+1}*x_{n+2}*\ldots*x_{2n} e x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n-1}+x_{n+1}=x_{n}*x_{n+2}*x_{n+3}*\ldots*x_{2n} Sottraendo membro a membro otteniamo che (x_{n}-x_{n+1})(x_{n+2}*x_{n+3}*\ldots*x_{2n}+1)=0 Sfru...

Qui a Rimini ultimo preso ( e anche secondo classificato ) a 67.
Si vince con 103

Determinare tutte le funzioni [tex]f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/tex] tali che [tex]f(x^2)+xf(y)=f(x)f(x+f(y))[/tex] per ogni coppia di reali [tex](x,y)[/tex]

Determinare tutte le coppie [tex](p,q)[/tex] di primi tali che [tex]p(p^2-p-1)=q(2q+3)[/tex]

Ok meglio se lo riguardo con calma ...

Determinare tutte le terne (a, b, c) di numeri reali per cui esiste almeno una funzione f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} , non identicamente nulla, tale che \begin{equation} af(yz + f(x)) + bf(zx + f(y)) + cf(xy + f(z)) = 0 \end{equation} per ogni terna di numeri reali (x,y,z)

Sinceramente non so come io sia finito qua però già che ci siamo mettiamo un'idea a questo problema innocente e che mi sembra strano venga da una gara turca ...

Errata

Non so se tornerà mai utile e quindi non so quanto sia appropriato il titolo, ma comunque ...
Dati [tex]m,n>1[/tex] interi con [tex](m,n)=1[/tex] si dimostri che esistono [tex]a,b,c[/tex] interi positivi, con [tex](n,c)=1[/tex], tali che [tex]m^a=1+n^bc[/tex]