Olimpiadi della Matematica Torino - OliMaTO - Forum

A questo punto, ponendo $x=y=1$ nell'equazione del testo si ottiene, sfruttando (*), che $f(1)=1$. Sicuro ? Anche perchè controesempio f(x)=\frac{1}{2} \ \ \ \forall x \in \mathbb{Q}^+ No ma me ne sono accorto subito, nella mia testa ho fatto qualche cosa strana. Comunque oggi scrivo la dimostrazio...

Ok, finalmente. Poniamo per comodità di notazione $f(1)=c$. Dimostriamo che $f(1)=1$ oppure $f(1)=\frac{1}{2}$. Per prima cosa osserviamo che $f(2) = 1/2$, ponendo semplicemente $x=y=2$ e sfruttando il fatto che $f(x) \ne 0$. Ora, poniamo $y=1$ e poniamo $x=2,3,4,5$. Otteniamo che $$f(6) = \dfrac{\f...

Un numero reale é definito POSITIVO se é > 0, negativo se é < 0 e nullo se é = 0.

Per le prossime volte comunque evita di scrivere la stessa cosa 10 mila volte, attendi semplicemente una risposta, se poi questa non arriva per giorni e giorni allora solleciti gli altri utenti a rispondere.

Devi ciclare le variabili. Esempio $\sum_{cyc} a = a+b+c$ e $\sum_{cyc} ab = ab+ac+bc$ (nel caso in cui le variabili siano $a,b,c$ , come nel nostro caso).

Mi potete spiegare meglio come funzionano le coordinate baricentriche e come si trovano le equazioni di rette, punti, circonferenza etc? (Così capisco anche la soluzione a questo problema) Guardati i video dei vari senior (medium). http://olimpiadi.dm.unibo.it/videolezioni/index.php?folder=Training

Nope, é quello del testo.

Determinare tutte le funzioni $f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ tali che per ogni $(a,b,c) \in \mathbb{Z}^3$ con $a+b+c=0$ valga$$f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2 = 2f(a)f(b) + 2f(a)f(c) + 2f(b)f(c)$$

Bene, come sempre.

Determinare tutte le funzioni $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tali che $$f(x-f(y)) = f(f(y)) + xf(y) + f(x)- 1$$per ogni $(x,y) \in \mathbb{R}^2$.

Scusami, ma per porre $y=f(z)$ non devi avere che $f$ sia suriettiva? Una funzione monotona non è sempre suriettiva, cioè deve essere "strettamente" monotona (magari non significa niente ma credo tu abbia compreso cosa io voglia dire). Vabbè ad ogni modo penso suppongo tu abbia dimostrato ...