Olimpiadi della Matematica Torino - OliMaTO - Forum

Sia $n$ un intero positivo e siano $P_1,...,P_n$ dei punti su una circonferenza di raggio $r$. Si dimostri che $r^2\ge \dfrac{1}{2n^2} \sum_{i,j=1}^n |P_i P_j|^2$, precisando anche in quali casi vale l'uguaglianza.

Esiste qualche relazione particolare che consente di ricavare l'equazione in coordinate baricentriche del coniugato isogonale di un punto? (In qualche problema ho visto ricavarla di punti "a caso" ma senza che venisse spiegato come).

Dimostrare che l'equazione $a^2+b^3+c^4+d^5+e^6=f^7$ ha infinite soluzioni intere positive. Sia $(a,b,c,d,e,f)$ una soluzione. Allora anche $(ag^210,bg^140,cg^105,dg^84,eg^70,fg^60)$, con $g$ intero positivo, è una soluzione. Infatti $(ag^210)^2+(bg^140)^3+(cg^105)^4+(dg^84)^5+(eg^70)^6=(fg^60)^7; g...

Cesenatico 2007 - 3 Sia $ABC$ un triangolo con baricentro $G$. Sia $D\ne A$ un punto sulla retta $AG$ tale che $AG = GD$, e sia $E\ne B$ un punto sulla retta $GB$ tale che $GB=GE$. Sia infine $M$ il punto medio di $AB$. Dimostrare che il quadrilatero $BMCD$ è inscrittibile in una circonferenza se e ...

Grazie mille! :D Uno stratagemma può essere usarla insieme a una simmetria che manda rette per $O$ in rette per $O$ (ad esempio rispetto alla bisettrice di due rette intersecantesi in $O$): questo permette di sfruttare similitudini tra i triangoli per capire quali punti si scambiano tra loro. [...] ...

Definiamo numeri noiosi il 2 e tutti i numeri della forma $3^a5^b$, dove $a$ e $b$ sono due interi non negativi. Dimostrare che ogni intero positivo può essere scritto come somma di uno o più numeri noiosi distinti.
(Consiglio: secondo voi che livello è?)

Modificata la parte con $v$ eliminando l'ipotesi del minimo intero e giungendo all'azzurro che $M(2)$ dovrebbe essere rappresentabile.

Come faccio a eliminare un messaggio inviato per errore (tipo questo)?

Ho notato che alcuni problemi di geometria anche abbastanza difficili vengono risolti applicando un'inversione alla figura. Potete spiegarmi come funziona, quali sono i vantaggi, come faccio - generalmente - a dimostrare che uno specifico punto viene mandato in un altro (e allo stesso modo rette e c...

Perfetto grazie!
E per le matrici?