Olimpiadi della Matematica Torino - OliMaTO - Forum

Trovare tutti gli interi positivi $n$ tali che la seguente equazione ammette almeno una soluzione $(x, y)$ di interi positivi:
$x^2+y^2=n(x+1)(y+1)$.

Ottimo! Altra strada: uso il vincolo per omogenizzarla, a sinistra intanto sotto le radici escono fuori $(a+b)(a+c)$ e cicliche. Siccome non ci piacciono le radici a destra $a=x^2$ e cicliche, ma come trattiamo la somma ciclica di $((x^2+y^2)(x^2+z^2))^{1/2}$ a sinistra? Basta una sola diretta appli...

Quasi. Quando togli il ragazzo e la ragazza che hai scelto, poi sottrai solo il numero di archi che escono dal ragazzo, invece devi togliere dal conto anche quelli che escono dalla ragazza. Anche nel caso peggiore, però, questo non è un problema. PS: è ovvio che se ci si fa con $n^2-n+1$ ci si fa an...

Siano $a, b, c$ reali positivi tali che $a+b+c=1$. Dimostrare che
$\sqrt{ab+c}+\sqrt{bc+a}+\sqrt{ca+b} \ge 1 + \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$.

No. Siano $A, B, C$ tre ragazze e $D, E$ due ragazzi (gli altri ora li ignoriamo). Se a $A, C$ piacesse $D$ e a $B, C$ piacesse $E$ abbiamo che $C$ ha sempre un'altra scelta, ma ciò implicherebbe "rubare" il ragazzo alla rimanente povera terza esclusa. Con le ipotesi e quello che ti sei tr...

Le cose che dici sono giuste, ma non dici perché "almeno un ragazzo che conosce tutte le ragazze (e viceversa)"+"non ci sono due ragazze che conoscono solo lo stesso ragazzo" porti alla soluzione.

Ups, non ho letto bene

Non mi ricordo se è già passato, però è bello: ad un ballo ci sono $n$ ragazzi e $n$ ragazze. Ogni ragazzo vorrebbe poter ballare con una ragazza (e viceversa), ma nessuno dei presenti vuole ballare con qualcuno che non conosce (la conoscenza è reciproca). Determinare il numero minimo $m$, in funzio...

Ne dovrebbero bastare $5$.

Trovare tutti i polinomi $f$ a coefficienti interi per i quali vale la seguente affermazione:
esiste un intero positivo $N$ tale che, per ogni primo $p>N$, se $f(p)>0$ allora $p \mid 2 \cdot (f(p)!)+1$.