Olimpiadi della Matematica Torino - OliMaTO - Forum

L'induzione diciamo che non è indispensabile, o almeno non c'è bisogno che sia formalissima: nella cosa greedy che dice Lasker ci basta dire che (attenzione, spoiler) il massimo numero noioso minore o uguale di un numero intero positivo dato è tale che il suo doppio dev'esserne strettamente maggiore...

Facendo come dice matpro98 si capisce bene, io l'ho capito così cosa volevo andare a dimostrare, una volta che lo sai credo che l'induzione sia la via più pulita di dimostrarlo (come in tutte le successioni, del resto XD). Ovvio che una costante non funziona, quella cosa cresce, se supponi $a_i=c$ c...

È la parte intera superiore, quella che intendi tu è invece la parte intera inferiore: se $x \in \mathbb{R}$ è tale che $m \le x \le m+1$ con $m \in \mathbb{Z}$ si definisce $\lfloor x\rfloor=m, \lceil x \rceil=m+1$.

$\displaystyle a_n=(-1)^n+\frac{\lceil \frac{n}{2} \rceil}{2}$ di nuovo per induzione, dividi il caso $n$ pari e $n$ dispari così non hai problemi con la parte intera superiore.
EDIT: battuto sul tempo, comunque confermo quanto dice matpro98.

Beh, per risolverla non è che ci voglia molto, è una semplice induzione e c'è di mezzo solo la somma dei primi $n$ interi positivi, quindi $\displaystyle a_n=a_0+\frac{n(n+1)}{4}$. Non sto a scrivere tutti passaggi, spero tu ti fidi, è un'induzione scema comunque.

Giusto!

Attento, se l'angolo è uguale a $180^\circ$ non va mica bene (ovviamente puoi ignorare questo caso e il resto direi che funziona)! In alternativa puoi scegliere $L$ talmente piccolo che gli archi opposti sono tutti più grandi del più grande degli archi piccoli, quindi arco grande diverso da arco pic...

E gli archi opposti? (in realtà non è molto difficile)

Sì, l'ultima cosa che hai detto è giusta, ma devi dimostrare che è sempre possibile prendere $n$ punti tale che tutte le lunghezze possibili di tutti gli archi tra due punti qualsiasi siano diverse tra loro.

Ho modificato il mio ultimo messaggio mentre scrivevi (per aggiungere un " ")...
Btw non è niente di grave, volevo solo far vedere un metodo che se sai fartelo venire in mente ti risparmia tempo (cercare di usare cose note in un esercizio semplice che sembra chiamarle).