Olimpiadi della Matematica Torino - OliMaTO - Forum

Sia $P(x)$ un polinomio a coefficienti reali. Mostrare che se $\exists n \in \mathbb{Z}$ tale che $P(n) \not \in \mathbb{Z}$ allora $P(x)$ non è intero per infiniti interi $x$.

Rilancio.

Dimostrare che l'equazione $\sum_{i=1}^{p-2} a_i^{i+1} = x^p$ ha infinite soluzioni intere positive, dove $p$ è un numero primo.

Si.

Hint :

Veritasium ha scritto:

Giovanni98 ha scritto:One word.

Testo nascosto:

Baricentriche.

In realtà non é "baricentriche" la parola

Mh...tu dici?

Sia $ABC$ un triangolo, $I$ il suo incentro, $O$ il suo circocentro. Siano $BK$ , $CJ$ due altezze e $BQ$ e $CP$ due bisettrici. Dimostrare che $I$ sta su $KJ \iff O$ sta su $PQ$.

Leo e Cristiano fanno il seguente gioco : Cristiano scrive un polinomio a coefficienti interi non negativi alla lavagna e non lo mostra a Leo, che lo deve indovinare. Leo però può chiedere a Cristiano il valore di $P(x)$ con $x$ intero. Quante domande al minimo deve fare Leo a Cristiano per essere c...

Okay si scusa, avevo mancato io l'osservazione.

@parisgermain98 : Dal WLOG $y < x$ non puoi dedurre $a_i < b_i$ per ogni $1 \leq i \leq n$. Come controesempio $y=3^2\cdot 4\cdot 5$ e $x=3 \cdot 4 \cdot 5^2$.

$x = 3$ e $y=9$ mi pare che soddisfino le condizioni di divisibilità eppure in modulo non sono uguali.