Olimpiadi della Matematica Torino - OliMaTO - Forum

In questo genere di problemi si può utilizzare un trucco standard. Consideriamo l'espressione \displaystyle \frac{1}{n(n+1)(n+2)(n+3)} e diciamo che vogliamo determinare costanti reali A,B,C,D tali che \displaystyle \frac{1}{n(n+1)(n+2)(n+3)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+1}+\frac{C}{n+2}+\frac{D}{n+3} Com...

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Ok! Propongo una soluzione alternativa \displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+ac+bc}{abc} (1) Step 1: a \mid bc e cicliche Dato che vogliamo (1) sia un intero positivo, abc \mid ab+ac+bc ; notiamo che questo, in particolare, implica le divisibilità a \mid bc e cicliche (2). Step ...

Quante sono le terne di numeri interi positivi [tex]a, b, c[/tex] tali che la somma dei loro reciproci sia un numero intero positivo?

Dispense olimpioniche
Videolezioni (stage locali)
Gare anni precedenti

Dovrebbe più che bastarti per cominciare (propenderei per le ultime, se devi prepararti per il 21)

Arrivo un po' in ritardo ( :oops: ), ma: \displaystyle f(x):=\frac{1}{1+x} allora vogliamo sviluppare f(x^2) al secondo ordine attorno a x=1 , ossia, ponendo x=1+h , vogliamo sviluppare f(x^2)=f((1+h)^2)=f(1+(2h+h^2)) , quindi \displaystyle f(1+(2h+h^2))=f(1)+\frac{f^{(1)}(1)}{1!}(2h+h^2)+\frac{f^{(...

Per ogni intero [tex]n > 1[/tex], trovare una soluzione intera positiva [tex](x_1, x_2,...,x_n)[/tex] all'equazione


[tex]\displaystyle \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}+\frac{1}{x_1x_2...x_n}=1[/tex]

Dire (e dimostrare) in quanti modi si possono posizionare nel piano quattro punti in maniera tale che si formino al massimo due distanze (nel senso di "lunghezza del segmento") distinte tra punti distinti? [Due configurazioni sono distinte se non possono essere ottenute l'una dall'altra tr...

Boh, più che altro ad una prima occhiata mi sembrava si potesse tirar fuori qualcosa di buono da quel fatto (soprattutto alla luce del [L02] chiamato), ma mettendomi poi carta e penna alla mano mi sono reso conto che non funziona nemmeno nel caso in cui i tre fattori abbiano un primo in comune a cop...