Olimpiadi della Matematica Torino - OliMaTO - Forum

Prima un po' di cose base. Fatto 1. Per ogni intero positivo $m$, $f(m) > m$. Dimostrazione. $n = 1$ nel testo. Fatto 2. $f$ è iniettiva. Dimostrazione. Supponiamo che per $a < b$ si abbia $f(a) = f(b)$. Sia $n = b - a + 1$. Allora $n \mid f^n(a) - a$ e $n \mid f^n(b) - b$, ma $f^n(a) = f^n(b)$ qui...

Bene!

Does this shit work? Pare di sì, anche se al posto della "shit" del LEMMA 4 si potevano percorrere altre strade decisamente più brevi... :P Ad esempio, una di queste potrebbe essere dimostrare che $f$ è crescente (il che segue banalmente da uno dei lemmi), poi (questo è il passaggio criti...

Sia $f: \: \mathbb{Q}^+ \longrightarrow \mathbb{R}$ una funzione tale che $$f(x)f(y) \ge f(xy) \qquad \text{e} \qquad f(x + y) \ge f(x) + f(y)$$ per ogni $x, \: y \in \mathbb{Q}^+$. Supposto che $f(a) = a$ per un razionale $a > 1$, dimostrare che $f(x) = x$ per ogni $x \in \mathbb{Q}^+$.

P.S. Errore di battitura, quel "chiuso" è un limitato Come tutti sanno, "chiuso" e "limitato" sono vicini sulla tastiera. (cit) Comunque, tanto per non far rimanere inutile questo post... $$\frac{n(n + 1)}{2} = \sum_{i = 1}^n x_i \cdot \frac{i}{x_i} \ge \frac{1}{n}\lef...

Facciamo ripartire la staffetta... Ana ha trovato un intero $k \ge 2$! Decide quindi di sfidare l'amico (amica?) Banana al gioco The Game : all'inizio scrivono sulla lavagna un intero $n \ge k$; poi, iniziando da Ana, muovono a turno. Una mossa consiste nel cancellare il numero $m$ scritto sulla lav...

Consideriamo un intero positivo $k$ e un $k$-insieme $A$ con "interi caratteristici" (lasciameli chiamare così anche dopo) $x_1 < x_2 < \cdots < x_k$. Sia poi $N$ un intero positivo. Un po' di notazione random che non fa mai male: per $i = 2, \: \dots, \: k$, definiamo $d_i = x_i - x_1$; ...

Sia $\omega_1$ una circonferenza con centro in $O$. Sia $AB$ un diametro di $\omega_1$ e sia $C$ un punto di $\omega_1$ tale che $90^{\circ} < \widehat{AOC} < 180^{\circ}$. Sia $K$ un punto della retta $OC$ tale che $C$ sta tra $K$ e $O$, e sia $\omega_2$ la circonferenza con centro in $K$ e passant...

Livex ha scritto:Una volta le ho usate, e mi è bastato. Mai più
P.s. Auguri

Un giorno imparerai ad apprezzare questi strumenti raffinati...
Grazie!

Comunque non è vero che viene in qualsiasi modo, per sport ho provato l'analitica, e non mi escono cose belle (poi magari son io che non so fare i conti in modo furbo) :mrgreen: O se no facevi due considerazioni sugli angoli e poi una rotazione Macché analitica, andava fatto palese in baricentriche...