Olimpiadi della Matematica Torino - OliMaTO - Forum

alexthirty ha scritto:Tante cose

Ahahahahahahahah per me hai già vinto tu

Perfetta!

alexthirty ha scritto:

bern1-16-4-13 ha scritto:Hai proprio paura di autogufarti eh?


Oppure ti definisci homo novus?

Ma lui è tra gli stagisti forti. Era abbastanza ovvio

Anche nella prima...

Sia $\omega$ una circonferenza, $BC$ una sua corda, $A$ un punto variabile sull'arco maggiore $BC$. Sia $M$ il punto interno al segmento $AB$ tale che $AM = 2MB$ e sia $K$ la proiezione di $M$ su $AC$. Mostrare che $K$ descrive un arco di circonferenza al variare di $A$ su $\omega$.

Sia $c$ un intero positivo. Definiamo la successione $\{a_n\}_{n \ge 1}$ come $$\begin{cases} a_1 = c \\ a_{n + 1} = a_n^2 + a_n + c^3 & n \ge 1 \end{cases}$$ Determinare, in funzione di $c$, tutti gli interi positivi $k$ tali che $a_k^2 + c^3$ è la potenza $m$-esima di un intero per qualche $m ...

La mia è brutta... :D Costruiamo induttivamente un insieme di $n$ elementi con la proprietà che vogliamo. $n = 1$ palese. Ora supponiamo di averne uno di cardinalità $n$, che chiamiamo $A$. Sia $t$ una potenza perfetta non contenuta in $A$, e consideriamo l'insieme $A' = A \cup \{t\}$. Ora, diciamo ...

Ottimo!

Let's go on! (Ho un problema più o meno carino, chissà da dove viene... :mrgreen: ) Qualche osservazione prima di iniziare: Se $f(x) = T$, allora $f(\lambda x) \mid T$ per ogni $\lambda$ intero (ovvio). Se $f(x), \: f(y) \mid T$ e i periodi di $x$ e $y$ partono dalla stessa posizione dopo la virgola...

Dai, vogliamo la quarta! :D Chiaramente $x$ e $y$ sono entrambi dispari (altrimenti assurdo modulo $4$). Riscriviamo come $y^2 - 2 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$. Sia $p$ un primo che divide $y^2 - 2$, allora $2$ è residuo quadratico $\pmod{p}$, e quindi $p \equiv \pm 1 \pmod{8}$. Ora, si ha $x - 2 \equiv...

No, gliel'ho chiesto e ha detto che il problema (un TST cinese ) era proprio così...