Olimpiadi della Matematica Torino - OliMaTO - Forum

Buongiorno a tutti,
avrei bisogno di risolvere la seguente derivata in funzione di [tex]{y}_j[/tex] se qualcuno può essermi di aiuto:

[tex]\sum_{k \in U}^{}{\sum_{l \in U}^{}{a_k a_lw_kw_l| y_k-y_l|}}[/tex]

Per informazione gli a_k e a_l sono binari, ovvero quando un'unità della popolazione U viene selezionata per far parte del campione allora a=1 altrimenti a=0

Grazie a tutti per l'aiuto

La derivata del valore assoluto della variabile meno una costante è l'espressione stessa fratto la stessa senza valore assoluto, per il resto ragioni per linearità...

afullo ha scritto:La derivata del valore assoluto della variabile meno una costante è l'espressione stessa fratto la stessa senza valore assoluto, per il resto ragioni per linearità...

Sisi sono in chiaro se facessi la derivata per esempio del valore assoluto di x, però se non dico stupidate la soluzione dovrebbe essere qualcosa come una sommatoria singola (...) + una seconda sommatoria singola(...). Una soluzione di questo tipo. In più dentro il valore assoluto non ho nessuna costante ma due vettori per quello mi trovo in difficoltà

Quando k e l sono entrambi diversi da j la derivata è 0 perché le quantità sono costanti rispetto alla variabile verso cui si deriva. Quando k e l sono entrambi uguali a j hai la funzione costante 0 che ha derivata nulla. Dunque, esclusivamente, o k=j, o l=j...

afullo ha scritto:Quando k e l sono entrambi diversi da j la derivata è 0 perché le quantità sono costanti rispetto alla variabile verso cui si deriva. Quando k e l sono entrambi uguali a j hai la funzione costante 0 che ha derivata nulla. Dunque, esclusivamente, o k=j, o l=j...

Ti ringrazio molto per le tue dritte, però ho veramente difficoltà a tirar fuori una soluzione in termini di formula; insomma per riassumere il tutto. Sono abbastanza una frana in questo problema

In questi giorni sono poco da PC, magari quando sarò di nuovo da computer ti scriverò esplicitamente i passaggi...

Grazie mille sei molto gentile

Figurati! Ricordamelo solo se me lo dimentico, ché in questo periodo ho un milione di pensieri per la testa

Tranquillo sarà fatto anche perchè è piuttosto urgente

Allora:

[tex]D_{y_j} \left( \sum_{k \in U}^{}{\sum_{l \in U}^{}{a_k a_lw_kw_l| y_k-y_l|}} \right) = \sum_{k \in U}^{}{\sum_{l \in U}^{}{a_k a_lw_kw_l D_{y_j} (|y_k-y_l|)}}[/tex]

[tex]= \sum_{k \in {U \backslash j}}^{}{\sum_{l \in {U \backslash j}}^{}{a_k a_lw_kw_l D_{y_j} (|y_k-y_l|)}} + \sum_{k \in {U \backslash j}}^{} {a_k a_j w_k w_j D_{y_j} (|y_k-y_j|)} + \sum_{l \in {U \backslash j}}^{} {a_j a_l w_j w_l D_{y_j} (|y_j-y_l|)}[/tex]

[tex]= \sum_{k \in {U \backslash j}}^{} {a_k a_j w_k w_j sgnz(y_k-y_j)} + \sum_{l \in {U \backslash j}}^{} {a_j a_l w_j w_l sgnz(y_j-y_l)}[/tex]

dove la funzione [tex]sgnz[/tex] vale 1 se l'argomento è positivo, -1 se l'argomento è negativo, mentre non è definita se l'argomento è nullo (in quanto non si ha derivabilità). In sostanza [tex]sgnz(x) = \frac{x}{|x|}[/tex], con una definizione molto simile alla funzione segno [tex]sgn(x)[/tex], che però viene definita anche per [tex]x=0[/tex], come [tex]sgn(0)=0[/tex].