1. Assioma della scelta generalizzato

[hyka]

Continua a non convincermi, sorry

Meglio, abbiamo qualcosa su cui discutere

Al di là di ogni tecnicismo, la partizione banale... è l'insieme [tex]X[/tex] stesso (si, ok, l'insieme dell'insieme, ma poi ti riferisci agli elementi di [tex]X[/tex]), quindi mi stai dicendo che puoi scegliere un elemento da ciascuno di questi... ma questa è proprio la tesi.

Il mio primo argomento (dimmi se su questo ti trovi d'accordo) è che come caso particolare dell'assioma della scelta del Prodi, cioè limitandoci al caso in cui la partizione è quella banale, si ha che dato un qualsiasi insieme \(X\) si può "scegliere" un elemento \(x \in X\) (che nel post precedente era \(\text{extract}(\{Y \cap X\}\)).

Quello che non ti convince è che se lo posso fare su un insieme qualsiasi allora io dico che posso farlo su una famiglia di insiemi?

Inoltre la funzione di scelta classica applicata alle partizioni banali di ogni insieme [tex]X[/tex] altro non è che la funzione identica [tex]I_X[/tex] (infatti hai poco da scegliere: c'è un solo elemento dentro la partizione!) [e [tex]\tau(\{X\})=\{\{X\},\emptyset\}[/tex]].
Mi sembra una cane che si morde la coda, ma magari non riesco bene a capire cosa intendi.

E qua anche io non capisco cosa intendi tu, in particolare cosa intendi con la "funzione di scelta classica"?
Nel caso in cui ti riferivi alla costruzione che ho fatto nel post precedente, io non "applicavo l'assioma della scelta alla partizione banale" ma usavo la partizione banale come "tecnicismo" per applicare l'assioma della scelta ad un insieme ed estrarne un solo elemento.

Ma poi il suggerimento di Prodi ti fornisce una bellissima partizione di [tex]\mathscr{F}[/tex] e il resto è tutto in discesa, perché non usarlo?

Perché non ci sarei arrivato da solo

Per curiosità, posteresti la tua dimostrazione?


O.T.

p.s. postate anche qualche altro problema carino con cui possiamo divertirci

Aspetto qualche giorno se qualcuno risolve l'altro problema che hai postato e poi rilancio con una piccola serie di problemini per costruire un'aritmetica degli insiemi, se non lo hai già visto (in genere non è una cosa che si vede spesso) potrebbe piacerti

Quale altro genere di esercizi andrebbero bene? Mi verrebbe in mente di postare qualche diabolico integrale (tirato fuori da mathematics magazine o aops, nulla di mio ovviamente), anche se forse è ancora un po' presto per noi.

[Gizeta]

E qua anche io non capisco cosa intendi tu, in particolare cosa intendi con la "funzione di scelta classica"?
Nel caso in cui ti riferivi alla costruzione che ho fatto nel post precedente, io non "applicavo l'assioma della scelta alla partizione banale" ma usavo la partizione banale come "tecnicismo" per applicare l'assioma della scelta ad un insieme ed estrarne un solo elemento.

Ripartiamo (quasi) da zero: l'assioma della scelta dice che data una partizione [tex]\mathscr{P}[/tex] di un insieme [tex]E[/tex] esiste una funzione [tex]\phi:\mathscr{P} \rightarrow E[/tex] t.c. [tex]\phi(X) \in X[/tex] per ogni classe [tex]X \in \mathscr{P}[/tex]. Bene, con "funzione di scelta classica" mi riferivo alla suddetta [tex]\phi[/tex] [classica per dire che non è quella generalizzata definita in questo problema].

A noi è dato questo sopra e vogliamo mostrare che una simile [tex]\phi[/tex] esiste anche quando invece di una partizione abbiamo una generica famiglia di sottoinsiemi.

Io avevo capito che tu volessi applicare la [tex]\phi[/tex] classica a [tex]\mathscr{G} = \{X\}[/tex] per ogni [tex]X \in \mathscr{F}[/tex], ma in tal caso altro non fai che associare la classe di equivalenza (evidentemente unica) con un suo elemento, ma anche questo è unico ed è [tex]X[/tex] [tutto l'insieme, non un solo suo elemento]. Adesso dovrebbe essere evidente il motivo per cui l'argomentazione mi pare circolare.
Ma magari sto delirando: stasera sono abbastanza fuso.

Per curiosità, posteresti la tua dimostrazione?

Te la mando per mp, non so perché ma non riesco a postarla (mi compare un errore ).

EDIT: non riesco ad inviarla nemmeno per mp... (errore 403)

Magari è meglio se discutiamo a mente fresca domani

Quale altro genere di esercizi andrebbero bene?

Qualsiasi cosa non troppo avanzata ma nemmeno banale (guarda i problemi con l'asterisco del Prodi dei primi capitoli per farti un'idea di cosa intendo).

[afullo]

Per curiosità, posteresti la tua dimostrazione?

Te la mando per mp, non so perché ma non riesco a postarla (mi compare un errore ).

EDIT: non riesco ad inviarla nemmeno per mp... (errore 403)

Magari è meglio se discutiamo a mente fresca domani

Quale altro genere di esercizi andrebbero bene?

Qualsiasi cosa non troppo avanzata ma nemmeno banale (guarda i problemi con l'asterisco del Prodi dei primi capitoli per farti un'idea di cosa intendo).

Alcune parole (casin0, p0ker) sono vietate per evitare gli spambot. Se c'è una parola potenzialmente "critica" (si possono capire quali sono) provate a sostituire una 'o' con uno '0', come ho fatto io per le due tra parentesi.

[hyka]

Io avevo capito che tu volessi applicare la [tex]\phi[/tex] classica a [tex]\mathscr{G} = \{X\}[/tex] per ogni [tex]X \in \mathscr{F}[/tex], ma in tal caso altro non fai che associare la classe di equivalenza (evidentemente unica) con un suo elemento, ma anche questo è unico ed è [tex]X[/tex] [tutto l'insieme, non un solo suo elemento].

\(\mathscr{G}\) sarebbe la partizione di \(X\) che mi richiede l'assioma della scelta, non l'insieme su cui faccio la scelta (che è \(X\)).

Ripartiamo (quasi) da zero: l'assioma della scelta dice che data una partizione [tex]\mathscr{P}[/tex] di un insieme [tex]E[/tex] esiste una funzione [tex]\phi:\mathscr{P} \rightarrow E[/tex] t.c. [tex]\phi(X) \in X[/tex] per ogni classe [tex]X \in \mathscr{P}[/tex]. Bene, con "funzione di scelta classica" mi riferivo alla suddetta [tex]\phi[/tex] [classica per dire che non è quella generalizzata definita in questo problema].

A noi è dato questo sopra e vogliamo mostrare che una simile [tex]\phi[/tex] esiste anche quando invece di una partizione abbiamo una generica famiglia di sottoinsiemi.

Con questa formulazione dell'AC viene ancora meglio.
Abbiamo una famiglia di insiemi non-vuoti \(\mathscr{F}\) tutti sottoinsiemi di un insieme \(S\) (lo chiamo \(S\) e non \(E\) per poter usare questa lettera dopo).

Da ogni \(E \in \mathscr{F}\) (dove \(E \subset S\)) possiamo scegliere un elemento nel modo seguente:

consideriamo la sua partizione banale \(\mathscr{P}_E = \{E\}\), allora l'assioma della scelta ci dice che esiste una funzione

\(\phi_E : \mathscr{P}_E \to E\) che, per come abbiamo scelto la partizione, equivale a \(\phi_E : \{E\} \to E\) tale che

\(\forall X \in \mathscr{P}_E . \phi_E(X) \in X\) che, siccome \(E\) è l'unico elemento della partizione, equivale a \(\phi_E(E) \in E\).

Inoltre, dato che \(\phi_E(E) \in E\) e che \(E \subset S\), si ha che \(\phi_E(E) \in S\).

Notare il grafo della funzione \(\phi_E\): sappiamo che è un sottoinsieme del prodotto cartesiano del dominio e del codominio \(\mathscr{P}_E \times E = \{E\} \times E\), e dato che una funzione è una relazione totale funzionale si ha che deve essere un insieme del tipo \(\{(E, e)\}\) con \(e \in E\) (ecco dove salta fuori l'insieme puntato, ed \(e\) è l'elemento che abbiamo "scelto" da \(E\)).


Ora, quello che volevamo era una funzione del tipo

\(\phi : \mathscr{F} \to S\) tale che \(\forall E \in \mathscr{F} . \phi(E) \in E\).

Allora decidiamo di definirla come

\(\forall E \in \mathscr{F} . \phi(E) = \phi_E(E)\)

Per quanto abbiamo detto prima \(\phi_E(E) \in S\), perciò abbiamo "il codominio giusto", inoltre \(\phi(E) = \phi_E(E) \in E\), come richiesto

Riassumendo, per ogni insieme \(E\) della famiglia abbiamo una funzione(o scelta) \(\phi_E\), sfruttando le varie scelte su ogni insieme contenuto nella famiglia abbiamo trovato una funzione scelta per l'intera famiglia

[Gizeta]

Si, hai ragione, ieri ero proprio fuso a causa di una marea di esercizi di Algebra Lineare [dei bellissimi sistemi, emh... si ]

La parte critica di quanto scrivi è questa

Da ogni \(E \in \mathscr{F}\) (dove \(E \subset S\)) possiamo scegliere un elemento nel modo seguente:

consideriamo la sua partizione banale \(\mathscr{P}_E = \{E\}\), allora l'assioma della scelta ci dice che esiste una funzione

\(\phi_E : \mathscr{P}_E \to E\) che, per come abbiamo scelto la partizione, equivale a \(\phi_E : \{E\} \to E\) tale che

\(\forall X \in \mathscr{P}_E . \phi_E(X) \in X\) che, siccome \(E\) è l'unico elemento della partizione, equivale a \(\phi_E(E) \in E\).

Non sono troppo convinto tu possa definire una simile [tex]\phi[/tex] senza usare implicitamente l'assioma della scelta generalizzato definito in questo problema [senza essere troppo formali, stai usando che da ogni insieme puoi estrarre un unico elemento e formare un nuovo insieme, ma questo è proprio ciò che sostiene la tesi].

Magari se intervenisse un terzo e chiarisse questa faccenda sarebbe meglio (altrimenti rischiamo di continuare in loop la discussione: tu riproponi la dimostrazione e io dico che non mi convince ).

Sono riuscito a risolvere il problema dell'errore (grazie mille, Afullo ), ti lascio la mia dimostrazione sotto

Testo nascosto:

Siano [tex]T=[/tex]{[tex](x,X): X \in \mathscr{F}[/tex] e [tex]x \in X[/tex]} e [tex]T_x=[/tex] {[tex](x,X):x \in X[/tex]}.
Sia [tex]\mathscr{T}=[/tex]{[tex]T_x:X \in \mathscr{F}[/tex]}; si vede facilmente che quest'ultima è una partizione di [tex]T[/tex].
Abbiamo la nostra bella partizione, dunque posso applicare l'assioma della scelta [classico] e trovare [tex]\theta=[/tex]{[tex]T_{x} \mapsto (x,X):\mathscr{T} \rightarrow T[/tex]}, ed abbiamo bello che finito perché non mi resta che definire altre due funzioni (una che manda il sottoinsieme [tex]X[/tex] in [tex]T_x[/tex] [l'applicazione canonica sul quoziente] ed un'altra che manda [tex](x,X)[/tex] in [tex]x[/tex]) [proiezione canonica] e comporre.
Ossia definisco [tex]\tau=[/tex]{[tex]X \mapsto T_x:\mathscr{F} \rightarrow \mathscr{T}[/tex]} e [tex]g=[/tex]{[tex](x,X) \mapsto x:T \rightarrow E[/tex].
Ed ecco sfornata fresca fresca la nostra funzione di scelta [tex]\phi=g \circ \theta \circ \tau[/tex]

N.B: Ho definito talmente tanti insiemi che potrei aver fatto qualche pasticcio scrivendo insiemi di partenza e arrivo delle varie funzioni (anche se mi pare siano corretti)

p.s. Posta pure il prossimo (se ti va di partecipare a questa bizzarra [e folle] staffetta )!

[hyka]

Non sono troppo convinto tu possa definire una simile [tex]\phi[/tex] senza usare implicitamente l'assioma della scelta generalizzato definito in questo problema [senza essere troppo formali, stai usando che da ogni insieme puoi estrarre un unico elemento e formare un nuovo insieme, ma questo è proprio ciò che sostiene la tesi].

Credo di aver capito quello che intendi(e penso che hai ragione quantomeno a dubitare), ma la mia difficoltà nell'essere specifico nasce dal fatto che stiamo usando una teoria degli insiemi intuitiva. Più tardi prendo un libro con gli assiomi di ZFC e provo a riscrivere i passaggi in maniera più formale.

In particolare la tua ipotesi si può tradurre come
\(\forall x (\forall y \in x . y \neq \emptyset \wedge \forall y, z \in x . y \cap z = \emptyset \rightarrow \exists z . \forall y \in x . \exists u . z \cap y = \{u\})\)

e la tesi (se non sto correndo troppo)
\(\forall x (\forall y \in x . y \neq \emptyset \rightarrow \exists z . \forall y \in x . \exists u . z \cap y = \{u\})\)

Magari se intervenisse un terzo e chiarisse questa faccenda sarebbe meglio (altrimenti rischiamo di continuare in loop la discussione: tu riproponi la dimostrazione e io dico che non mi convince ).

Concordo, tra l'altro tre menti sono sempre meglio di due.

\(T_x= \{(x,X):x \in X\}\) ... si vede facilmente che quest'ultima è una partizione di \(T\)

Piccola mia cattiveria, \(T_x = \{x : x \in X\}\), altrimenti non si tratta di una partizione
Scherzi a parte, ad occhio mi piace la tua dimostrazione, più tardi la leggo con calma (ora dovrei fare gli esercizi di geometria da portare all'uni tra 2 ore, e poi mi aspettano 6 ore di tortura )

p.s. Posta pure il prossimo (se ti va di partecipare a questa bizzarra [e folle] staffetta )!

Mi ci vorrà un po' per raccogliere tutti i sottoproblemi ma a breve posto

Edit.
Più che una piccola cattiveria è una grande boiata, ho guardato per bene la tua dimostrazione e sembra impeccabile