Non ha risposto nessuno
L'ho postato anche per sistemare
errori tipici dei meno esperti come
[tex]\sqrt{4}=\pm 2[/tex].
Il lemma si dimostra molto facilmente, infatti è sufficiente prendere
[tex]1< \sigma < \gamma[/tex] per essere sicuri che
[tex]\sigma^2 \le \gamma[/tex] o
[tex]\displaystyle \left ( \frac{\gamma}{\sigma} \right )^2 \le \gamma[/tex], infatti se entrambe fossero false si avrebbe
[tex]\displaystyle \sigma^2 \cdot \left ( \frac{\gamma}{\sigma} \right )^2=\gamma^2>\gamma^2[/tex], assurdo.
L'unicità è in egual modo banale, dacché
[tex]x_1<x_2[/tex] implica
[tex]x_1^2<x_2^2[/tex] in
[tex]\mathbb{R^+}[/tex]
L'esistenza è un pochino più complicata, ma non disperiamo.
I casi
[tex]y=0[/tex] e
[tex]y=1[/tex] sono banali, se
[tex]0<y<1[/tex] allora
[tex]\displaystyle y=\frac{1}{z}[/tex],
[tex]z > 1[/tex], e
[tex]\displaystyle k^2=\left ( \frac{1}{x} \right )^2=z[/tex] ha un'unica soluzione, come si vedrà ora.
Consideriamo i due insieme
[tex]A=\{a\in \mathbb{R^+}:a^2 \le y\}[/tex] e
[tex]B=\{b \in \mathbb{R^+}:b^2 \ge y\}[/tex], essi sono non vuoti in quanto in
[tex]A[/tex] è indubbiamente presente
[tex]1[/tex] e in
[tex]B[/tex] è presente
[tex]y[/tex] stesso, inoltre
[tex]\forall a \in A, \forall b \in B[/tex] si ha
[tex]a^2 \le y \le b^2 \Rightarrow a \le b[/tex], quindi per l'assioma di completezza esiste
[tex]\xi \in \mathbb{R^+}[/tex] tale che
[tex]\forall a \in A, \forall b \in B[/tex] [tex]a \le \xi \le b[/tex]. Dimostriamo che è proprio
[tex]\xi^2=y[/tex].
Supponiamo per assurdo ciò non sia vero, allora si presentano due casi:
[tex]\xi^2<y[/tex] e
[tex]\xi^2>y[/tex]
[tex]\displaystyle \xi^2<y \longrightarrow \frac{y}{\xi^2}>1[/tex], allora per il lemma esiste
[tex]\sigma>1[/tex] tale che
[tex]\displaystyle \sigma^2 \le \frac{y}{\xi^2} \longrightarrow (\sigma\xi)^2 \le y[/tex], quindi
[tex]\sigma\xi \in A[/tex], ma
[tex]\sigma\xi>\xi[/tex] perché
[tex]\sigma>1[/tex] dunque
[tex]\xi[/tex] non è elemento separatore. Assurdo.
[tex]\displaystyle \xi^2>y \longrightarrow \frac{\xi^2}{y}>1[/tex] allora esiste
[tex]\sigma>1[/tex] tale che
[tex]\displaystyle \sigma^2 \le\frac{\xi^2}{y} \longrightarrow \left ( \frac{\xi}{\sigma} \right )^2 \ge y[/tex] allora
[tex]\displaystyle \frac{\xi}{\sigma} \in B[/tex], ma
[tex]\displaystyle \frac{\xi}{\sigma}<\xi[/tex] e ancora una volta
[tex]\xi[/tex] non è elemento separatore. Assurdo.
L'unica soluzione in
[tex]\mathbb{R^+}[/tex] di
[tex]x^2=y[/tex] viene indicata con il simbolo
[tex]\sqrt{y}[/tex].