Inizio io proponendo la costruzione assiomatica degli spazi topologici passando per gli intorni.
Sarò conciso (emh... va bene, sto mentendo: mi piacciono i dettagli
).Verso gli spazi metrici
Definizione 1: Nello spazio [tex]\mathbb{R^n}[/tex] consideriamo un'applicazione [tex]d:\mathbb{R^n}\times \mathbb{R^n} \rightarrow \mathbb{R^+}[/tex] tale che
[tex]\displaystyle d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|=\sqrt{\sum_{k=1}^n{(x_k-y_k)^2}}[/tex]
Tale applicazione prende il nome di distanza Pitagorica o Euclidea e coincide con l'usuale distanza della geometria Euclidea.
Vediamo le proprietà della suddetta:
1) [tex]d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=0 \iff \boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}[/tex]
2) [tex]d(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=d(\boldsymbol{y},\boldsymbol{x})[/tex]
3) [tex]d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) \le d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{z})+d(\boldsymbol{z},\boldsymbol{y})[/tex]
Le prime due seguono immediatamente dalla definizione.
Dimostriamo la terza.
Dimostrazione
Premettiamo a tale dimostrazione due definizioni e la dimostrazione di altre due diseguaglianze
Testo nascosto:
[tex]\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}=\boldsymbol{a}[/tex]
[tex]\boldsymbol{x}-\boldsymbol{z}=\boldsymbol{b}[/tex]
[tex]\boldsymbol{z}-\boldsymbol{y}=\boldsymbol{c}[/tex]
dacché [tex]\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}[/tex], è sempre verificata per la 2
[tex]d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}| \le |\boldsymbol{b}|+|\boldsymbol{c}|=d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{z})+d(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{y})[/tex]
Bene bene bene, è tempo di generalizzare
Definizione 4: Sia [tex]E[/tex] un insieme, un'applicazione [tex]d:E \times E \rightarrow \mathbb{R^+}[/tex] che goda delle proprietà 1,2,3 è detta distanza. Un insieme in cui sia definita una distanza prende il nome di spazio metrico.
Osservazione: Un qualsiasi sottoinsieme [tex]T[/tex] di [tex]E[/tex] sarà a sua volta spazio metrico, infatti possiamo considerare come distanza in [tex]T[/tex] la restrizioni di [tex]d[/tex] a [tex]T[/tex], ossia [tex]d\mid_{T \times T}:=\{(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) \mapsto d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}): T \times T \rightarrow E\}[/tex]
Dagli spazi metrici agli spazi topologici
Abbiamo uno spazio metrico e una distanza, incominciamo a chiederci chi sta vicino a chi?
Definizione 5,6: In uno spazio metrico E, definiamo palla (o disco) di centro [tex]\boldsymbol{x}[/tex] e raggio [tex]0<\delta \in \mathbb{R}[/tex] il seguente insieme
[tex]B(\boldsymbol{x},\delta)=\{\boldsymbol{y}:\boldsymbol{y} \in E[/tex] e [tex]d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) < \delta\}[/tex]
Invece, chiamiamo Sfera di centro [tex]\boldsymbol{x}[/tex] e raggio [tex]0<\delta \in \mathbb{R}[/tex]
[tex]S(\boldsymbol{x},\delta)=\{\boldsymbol{y}:\boldsymbol{y} \in E[/tex] e [tex]d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) = \delta\}[/tex]
[In [tex]\mathbb{R^2}[/tex] e [tex]\mathbb{R^3}[/tex] sono facilmente visualizzabili]
Definizione 6: In uno spazio metrico [tex]E[/tex], chiamiamo intorno di un suo punto [tex]\boldsymbol{x}[/tex] ogni insieme che contenga una palla con centro in [tex]\boldsymbol{x}[/tex].
Denotiamo con [tex]\mathscr{I}_x[/tex] la famiglia di intorni del punto [tex]\boldsymbol{x}[/tex].
Gli intorni hanno delle belle proprietà, vediamole:
1) Ogni punto di [tex]E[/tex] ha almeno un intorno e ogni intorno di [tex]\boldsymbol{x}[/tex] contiene [tex]\boldsymbol{x}[/tex]
2) Se [tex]U \in \mathscr{I}_x[/tex] e [tex]V \in \mathscr{I}_x[/tex] allora [tex]U \cap V \in \mathscr{I}_x[/tex]
3) Se [tex]U \in \mathscr{I}_x[/tex] e [tex]U \subset V[/tex] allora [tex]V \in \mathscr{I}_x[/tex]
4) Per ogni [tex]U \in \mathscr{I}_x[/tex] esiste [tex]V \in \mathscr{I}_x[/tex] tale che [tex]U[/tex] sia intorno per ogni punto di [tex]V[/tex] (ossia, [tex]\forall y \in V: U \in \mathscr{I}_y[/tex])
5) Se [tex]x \not = y[/tex] allora esistono [tex]U \in \mathscr{I}_x[/tex] e [tex]V \in \mathscr{I}_y[/tex] tali che [tex]U \cap V= \emptyset[/tex]
Le prime tre sono banali (forse la terza è quella che salta meno all'occhio, ma facilmente: [tex]U \in \mathscr{I}_x \Rightarrow \exists B(\boldsymbol{x},\delta):B(\boldsymbol{x},\delta)\in U \Rightarrow B(\boldsymbol{x},\delta) \in V[/tex] dal momento che [tex]U \subset V[/tex], e abbiamo finito).
Cerchiamo di dimostrare la quarta e la quinta
4) Diciamo che non è difficile immaginare un simile insieme [tex]V[/tex] (per lo meno in [tex]\mathbb{R^2}[/tex]).
Per ipotesi [tex]U[/tex] contiene [tex]B(\boldsymbol{x},\delta)[/tex], consideriamo [tex]V=B(\boldsymbol{x}, \frac{\delta}{2})[/tex].
Che [tex]V[/tex] sia un intorno di [tex]\boldsymbol{x}[/tex] è chiaro.
Prendiamo un qualsiasi punto [tex]y \in B(\boldsymbol{x},\frac{\delta}{2})[/tex] e consideriamo la palla [tex]B(\boldsymbol{y},\frac{\delta}{2})[/tex], mostriamo che un qualsiasi punto [tex]\boldsymbol{z}\in B(\boldsymbol{y},\frac{\delta}{2})[/tex] dista da [tex]\boldsymbol{x}[/tex] meno di [tex]\delta[/tex].
A tal proposito adoperiamo la terza proprietà degli spazi metrici dimostrata prima
[tex]d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{z}) \le d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})+d(\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}) \le \frac{\delta}{2}+\frac{\delta}{2}=\delta[/tex]
Ossia [tex]\boldsymbol{z} \in B(\boldsymbol{x}, \delta )[/tex] per ogni [tex]\boldsymbol{z} \in B(\boldsymbol{y},\frac{\delta}{2})[/tex], quindi [tex]B(\boldsymbol{y},\frac{\delta}{2}) \subset B(\boldsymbol{x},\delta) \subset U[/tex], e con ciò la dimostrazione è chiusa.
Per visualizzare bene la dimostrazione riducetevi a [tex]\mathbb{R^2}[/tex].
5) Ancora una volta, in [tex]\mathbb{R^2}[/tex] è facile immaginare i due insiemi; dobbiamo solo generalizzare quello che in due dimensioni è intuitivo.
Provo a renderlo intuitivo in due dimensioni: immaginiamo due punti [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] del piano che distino [tex]\delta[/tex], allora il punto medio di [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] è equidistante dai due, ma allora se prendiamo un raggio più piccolo di [tex]\frac{\delta}{2}[/tex] e centriamo due cerchi in [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] con tali raggi: questi due non si intersecheranno in alcun punto (un bel disegno chiarisce tutto!).
Generalizzando: [tex]d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=\delta >0[/tex] perché [tex]x\not=y[/tex], prendiamo allora un raggio [tex]0< \epsilon < \frac{\delta}{2}[/tex] e consideriamo le due palle [tex]B(\boldsymbol{x}, \epsilon)[/tex] e [tex]B(\boldsymbol{y}, \epsilon)[/tex].
Mostriamo che queste due palle non hanno punti in comune: supponiamo [tex]\boldsymbol{z} \in B(\boldsymbol{x}, \epsilon) \cap B(\boldsymbol{y}, \epsilon)[/tex], allora [tex]\boldsymbol{z}\in B(\boldsymbol{x}, \epsilon)[/tex] e [tex]\boldsymbol{z} \in B(\boldsymbol{y}, \epsilon)[/tex], ma allora [tex]d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) \le d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{z}) + d(\boldsymbol{z},\boldsymbol{y})= \frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon < \delta[/tex], assurdo. Conseguentemente [tex]\boldsymbol{z} \in B(\boldsymbol{x}, \epsilon) \cap B(\boldsymbol{y}, \epsilon)=\emptyset[/tex], come volevasi dimostrare.
Ancora una volta è tempo di generalizzare
Definizione 7
Consideriamo le cinque proprietà precedenti come assiomi.
Definiamo spazio topologico un insieme [tex]E[/tex] per ogni punto [tex]\boldsymbol{x}[/tex] del quale è assegnata una famiglia di sottoinsiemi [tex]\mathscr{I}_x[/tex] di [tex]E[/tex] che verificano gli assiomi 1,2,3,4. Se è soddisfatto anche l'assioma 5 lo spazio topologico è detto separato o di Hausdorff. Ogni spazio metrico è spazio topologico (separato) [del resto abbiamo derivato questi dagli altri attraverso gli intorni].
In realtà tutta la costruzione vista fino ad ora è dovuta ad Hausdorff [e io la trovo semplicemente elegante e bellissima] e gli assiomi sono appunto detti di Hausdorff.
Definizione 8: La famiglia [tex]\{\mathscr{I}_x:\boldsymbol{x} \in E \}[/tex] è detta topologia di [tex]E[/tex].
Se la topologia può essere dedotta da una distanza l'insieme si dice metrizzabile.
Da qui si possono definire tutte quelle cosette di cui si parla con disinvoltura (in una sola dimensione... bleah!
) in Analisi 1 (punti aderenti, di accumulazione, isolati, ecc.).Come al solito sapete che mi rifaccio al Prodi, quindi molte cose sono assolutamente identiche (o molto simili) a come sono scritte su questo.
