Problemi di Algebra Lineare

[Gizeta]

L'intento è quello di proporre una serie di problemi non standard presi da competizioni matematiche o libri di testo (segnalando, solo dopo che qualcuno ha proposto una soluzione corretta, la fonte).

Una volta capito come linkare singoli post (sempre che ciò sia possibile) aggiornerò questo messaggio con i link ai post con i problemi e la relativa soluzione.

Chiedo solo la cortesia di non accavallare le soluzioni (i.e. se vedete che qualcuno ha già postato la soluzione evitate di postarne un doppione, scrivete solo se la vostra soluzione è sensibilmente differente e/o mette in mostra qualche buona idea) o postare messaggi non inerenti i problemi proposti; tutto questo solo per mantenere ordinato e pulito il topic.


Problema 1 [Putnam 2014 A2]
[tex]\cdot[/tex] Soluzione 1 (hyka)
[tex]\cdot[/tex] Soluzione 2
[tex]\cdot[/tex] Soluzione 3 (enigma)

Problema Bonus [Putnam 1991 A2]
[tex]\cdot[/tex] Soluzione (hyka)
[tex]\cdot[/tex] Dimostrazione fatto utilizzato nella soluzione precedente
[tex]\cdot[/tex] Dimostrazione 2 del fatto (hyka)

Problema 2 [Putnam 1994 A4]
[tex]\cdot[/tex] Soluzione 1 (hyka)
[tex]\cdot[/tex] Qualche dettaglio della soluzione precedente
[tex]\cdot[/tex] Soluzione 2 (hyka)

[Gizeta]

1. Sia [tex]A \in \mathfrak{M}_n(\mathbb{R})[/tex] la matrice le cui entrate sono definite da

[tex]\displaystyle [A]_{ij}=\frac{1}{min(i,j)}[/tex]

per [tex]1 \le i,j \le n[/tex].

Calcolare il determinante di [tex]A[/tex].

[Half95]

L' esercizio non è difficile se sapete di cosa si sta parlando provateci che prendete un po' di confidenza con questi argomenti

[hyka]

Visto solo ora, dato che nessuno lo ha fatto rispondo io

L'idea che ho avuto è abbastanza semplice, solo un po' noiosa da scrivere bene formalmente, quindi considero $n = 4$ e poi tiro fuori la formula generale.

$$
A = \left(\begin{matrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\
1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4}
\end{matrix}\right)
$$

Se sottraiamo a tutte le prime $n-1$ righe l'$n$-esima riga il determinante rimane invariato e otteniamo la matrice

$$
\left(\begin{matrix}
0 & \left(1 - \frac{1}{2}\right) & \cdot & \cdot \\
0 & 0 & \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) & \cdot \\
0 & 0 & 0 & \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) \\
1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4}
\end{matrix}\right)
$$

il cui determinante, sviluppando Laplace sulla prima colonna viene \((-1)^{n+1}\) per il determinante della matrice

$$
\left(\begin{matrix}
\left(1 - \frac{1}{2}\right) & \cdot & \cdot \\
0 & \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) & \cdot \\
0 & 0 & \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right)
\end{matrix}\right)
$$

che è triangolare superiore, perciò il suo determinante è il prodotto degli elementi sulla diagonale principale, dunque il determinante della matrice $A$ sarà

$$ (-1)^{n+1} \prod_{i=1}^{n-1} \left(\frac{1}{i} - \frac{1}{i+1}\right) = (-1)^{n+1} \prod_{i=1}^{n-1} \frac{1}{i} \prod_{i=1}^{n-1} \frac{1}{i+1} = (-1)^{n+1} \frac{1}{(n-1)! \cdot n!}$$


Edit.

Sarebbe divertente provare a farlo usando la formula del determinante con le permutazioni, cioè

$$\operatorname{det} A = \sum_{\sigma \in S_n} \epsilon(\sigma) \prod_{i=1}^n \frac{1}{\operatorname{min}(i, \sigma i)}$$

Come prime idee, se $\sigma$ è un $k$-ciclo allora ha segno $(-1)^{k+1}$ e se $\sigma = (a_1, \ldots, a_k)$ si ha che

$$\prod_{i=1}^n \frac{1}{\operatorname{min}(i, \sigma i)} = \frac{1}{n!} \frac{\operatorname{max}\{a_i\}}{\operatorname{min}\{a_i\}}$$

ma non ho idea se si possa concludere seguendo questa strada, se qualcuno volesse provarci sarebbe il benvenuto.

[Gizeta]

Bene hyka.
I problemi sono aperti a tutti, in ogni caso (per questo sono nella sezione Matematica Universitaria)


La mia soluzione è leggermente differente e ha una natura ricorsiva.

Uso il tuo stesso caso (per la serie riciclare il latex ): [tex]n=4[/tex] e chiamiamo la matrice ad essa associata [tex]A_4[/tex].


[tex]\det(A_4)= \left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} \end{matrix}\right |=\det(A_4)= \left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & 0 \\ 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & (\frac{1}{4}-\frac{1}{3}) \end{matrix}\right |[/tex]

Dove ho sottratto la terza colonna all'ultima, ma allora applicando Laplace alla quarta colonna

[tex]\displaystyle det(A_4)= \left (\frac{1}{4}-\frac{1}{3} \right ) \left |\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \end{matrix}\right|=\left (\frac{1}{4}-\frac{1}{3} \right ) \cdot det(A_3)[/tex]

In generale, quindi

[tex]\displaystyle det(A_n)=\left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n-1}\right)\cdot det(A_{n-1})[/tex]

Da qui sono solo conti uguali a quelli della soluzione precedente.





Appena capisco come linkare post singoli aggiungo in prima pagina la fonte e il link al testo e alle soluzioni proposte.
Presto posterò il secondo problema (sempre riguardante il calcolo di determinanti)

[Gizeta]

Siano [tex]A,B \in \mathfrak{M}_n(\mathbb{R})[/tex] matrici [tex]n \times n[/tex] differenti.
Se [tex]A^3=B^3[/tex] e [tex]A^2B=AB^2[/tex], può la matrice [tex]A^2+B^2[/tex] essere invertibile?

[enigma]

Tanto per fornire uno spunto di riflessione, una soluzione veloce al primo problema si ha anche notando che vale l'identità
\[ A_n=\left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
1 & 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
1 & 1 & 1 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\
1 & 1 & 1 &1 & \cdots & 1 \end{matrix}\right)

\left(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
0 & -\frac{1}{1\cdot 2} & -\frac{1}{1 \cdot 2} & -\frac{1}{1 \cdot 2} & \cdots & -\frac{1}{1 \cdot 2} \\
0 & 0 & -\frac{1}{2 \cdot 3} & -\frac{1}{2 \cdot 3} & \cdots & -\frac{1}{2 \cdot 3} \\
0 & 0 &0 & -\frac{1}{3 \cdot 4} & \cdots & -\frac{1}{3 \cdot 4} \\
\vdots &\vdots &\vdots & &\ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 &\cdots & 0 & -\frac{1}{(n-1)n} \end{matrix}\right) .
\]

[hyka]

@enigma, non riesco ad arrivarci, hai usato qualche proprietà particolare per scomporre in quel modo la matrice?

Bonus:

Testo nascosto:

Ricordando che le matrici formano un anello si ha dalle due relazioni che $(A - B)(A^2 + AB + B^2) = 0$ e $(A - B) AB = 0$ da cui $(A - B)(A^2 + B^2) = 0$, la matrice nella prima parentesi è non nulla, assumendo che anche la seconda non lo sia si ha che la seconda è singolare, quindi in ogni caso è singolare.

[enigma]

In che senso non riesci ad arrivarci? Per vedere che funziona basta svolgere i prodotti in maniera stupidina, e quel che rimane sono i determinanti di due matrici triangolari.

Ma, già che ci sono, leggo una cosa che mi preoccupa un po':

$(A - B)(A^2 + B^2) = 0$, la matrice nella prima parentesi è non nulla, assumendo che anche la seconda non lo sia si ha che la seconda è singolare, quindi in ogni caso è singolare.

O mi sono drogato o lo sei tu... perché non può essere a priori $A-B$ singolare e $A^2+B^2$ nonsingolare?!

[Gizeta]

Mi spiace dirlo, ma la soluzione ufficiale è esattamente quella di Hyka.
Mi spiace dirlo perché non è corretta, infatti la legge dell'annullamento del prodotto vale solo in un verso (quello che non serve a noi) e una matrice diversa dalla matrice nulla può avere determinante nullo.

Esempi

[tex]\left(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right )\left(\begin{matrix} 3 & 2 \\ -3 & -2 \end{matrix} \right )=\left(\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right )[/tex]


[tex]A=\left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} \right ) \not = O_{3} \land det(A)=0[/tex]



Sei sulla buona strada hyka, però