Si consideri la funzione [tex]\phi:\mathbb{R^n} \rightarrow \mathbb{R}^n[/tex]\begin{equation}
\phi(x)=\begin{cases}
x \space \space \space \space se \space \space ||x|| \le 1 \\ \displaystyle \frac{x}{||x||} \space \space \space \space se \space \space ||x|| > 1
\end{cases}
\end{equation}
Si mostri che [tex]||\phi(x)-\phi(y)|| \le ||x-y|| \space \space \space \forall \space x,y \in \mathbb{R}^n[/tex]
Qualcuno potrebbe darmi qualche suggerimento?
Ho provato molte strade ma sono risultate tutte inconcludenti
Una delle tante che ho tentato è la seguente (e in effetti mi piacerebbe vedere se qualcuno riesce a concluderla):
Potrebbe tornarti utile avere un'idea chiara di cosa dice il testo (e a quel punto il problema è banalizzato): $\phi$ non fa altro che retrarre $\{\| x\|\geq1\}$ sulla sfera unitaria! A questo punto è ovvio tradurlo in formule.
Testo nascosto:
Se $\|x\|,\|y\| \geq 1$, WLOG $\|x\| \leq \|y\|$, allora per Cauchy-Schwarz \[ \|x-y\|^2-\left\|\frac{x}{\|x\|}-\frac{y}{\|y\|}\right\|^2 \geq \|x-y\|^2-\left\|x-\frac{\|x\|}{\|y\|}y\right\|^2 =(\|y\|^2-\|x\|^2) -2\left ( 1-\frac{\|x\|}{\|y\|}\right)\langle x, y \rangle\]\[ \geq (\|y\|^2-\|x\|^2) -2\left ( 1-\frac{\|x\|}{\|y\|}\right)\|x\|\|y\|=(\|x\|-\|y\|)^2 \geq 0 .\] Similmente se sono uno dentro e uno fuori, e se sono entrambi dentro non c'è niente da mostrare.
Grazie mille, Enigma.
Diciamo che il passo che mi mancava era il trucco di passare ai quadrati delle espressioni, infatti anche partendo semplicemente da [tex]\displaystyle \left \| \frac{x}{\|x\|}-\frac{y}{\|y\|}\right \|^2[/tex] e svolgendo qualche conto (ricordando [tex]\displaystyle \|x\|^2=<x,x>[/tex], o semplicemente sapendo come si sviluppa) più qualche maggiorazione si riesce a dimostrare la diseguaglianza nel caso da te mostrato.
Aggiungo una curiosità che ho notato: [tex]1[/tex] è la minima costante di Lipschitz per la funzione [tex]\phi[/tex], infatti se fosse [tex]0<k<1[/tex] (se [tex]k=0[/tex], [tex]\phi[/tex] sarebbe costante, e così non è) [tex]\phi[/tex] sarebbe una contrazione da uno spazio metrico completo in se stesso e per il teorema delle contrazioni (o di Banach-Caccioppoli) avrebbe uno e un solo punto fisso, ma [tex]\phi[/tex] è l'inclusione su [tex]\overline{B_{1}(\overline{0})}[/tex][tex]\rightarrow[/tex] assurdo.
