Olimpiadi della Matematica Torino - OliMaTO - Forum

questo è un esercizio del mio libro di analisi, qualcuno mi potrebbe spiegare come posso risolverlo? grazie

[tex]\sum_{k=0}^{∞}{ \frac{k+1}{2k+1}}^\sqrt{k}[/tex]

renat_ ha scritto:questo è un esercizio del mio libro di analisi, qualcuno mi potrebbe spiegare come posso risolverlo? grazie

[tex]\sum_{k=0}^{∞}{ \frac{k+1}{2k+1}}^\sqrt{k}[/tex]

Esattamente cosa è elevato a $\sqrt{k}$?

tutto il termine generale

Prova a considerare che, per k >= 1, quella frazione è maggiorabile da 2/3.

ci avevo pensato ma 2/3 alla radice di k mi viene divergente (se non ho sbagliato qualcosa io), ed avendo maggiorato non posso concludere niente

Per k=0 fa 1, poco da dire.
Per k=1,2,3 prendi come maggiorazione 2/3 (tre volte).
Per k da 4 a 8 prendi come maggiorazione (2/3)^2 (cinque volte).
Per k da 9 a 15 prendi come maggiorazione (2/3)^3 (sette volte)
e così via.

Riarrangiando opportunamente hai: il valore 1, poi tre volte tutta la serie geometrica a partire da 2/3, che fa 3*2=6; due volte a partire da (2/3)^2, che fa 2*2*(2/3); due volte a partire da (2/3)^3, che fa 2*2*(2/3)^2, ..., insomma ti viene 7+4*(2/3+(2/3)^2+(2/3)^3+...) = 7+4*2=15.

D'altro canto: http://www.wolframalpha.com/input/?i=\s ... %28k%29%29

grazie mille! avevo trovato un altro metodo (con un aiutino del prof) per dimostrare che la serie è convergente, ma questo mi sembra più bello e anche più preciso visto che riesci a calcolare il valore della serie.
il mio metodo consiste nel dimostrare che la serie è asintotica rispetto a [tex]\frac{1}{2^\sqrt{k}}[/tex] per poi dimostrare che quest'ultima ha il termine generale più piccolo di [tex]\frac{1}{k^2}[/tex] definitivamente per [tex]k->∞[/tex]. Ma [tex]\frac{1}{k^2}[/tex] è una serie notoriamente convergente e quindi è convergente anche la serie iniziale.
Un'altra domanda: secondo voi la difficoltà di questo esercizio non è un po' troppo elevata per un esercizio di fine capitolo di un libro di Analisi per gli Ingegneri?

renat_ ha scritto:Un'altra domanda: secondo voi la difficoltà di questo esercizio non è un po' troppo elevata per un esercizio di fine capitolo di un libro di Analisi per gli Ingegneri?

No.

enigma ha scritto:

renat_ ha scritto:Un'altra domanda: secondo voi la difficoltà di questo esercizio non è un po' troppo elevata per un esercizio di fine capitolo di un libro di Analisi per gli Ingegneri?

No.

Che cattiveria.

Considerato che ci sono ingegneri che arrivano alla magistrale a dimenticarsi il significato di derivata, ricordandosi solo come si usa, forse un rinforzo di matematica all'inizio non fa male...