Applicazioni
Inviato: 29/05/2016, 14:56
Come ben noto il prodotto cartesiano di due insieme [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] può essere definito nel seguente modo (ove [tex]P(C)[/tex], [tex]C[/tex] insieme, indica l'insieme potenza di [tex]C[/tex]):
[tex]A \times B \stackrel{def}{=}\{z: z \in P(P(A \cup B)) \land (\exists x)(\exists y)(x \in A \land y \in B \land z=\{\{x\},\{x,y\}\}) \}[/tex]
Evidentemente, in tale definizione non sono contemplati i casi con [tex]A[/tex] o (non esclusivo) [tex]B[/tex] vuoti; per convenzione si pone [tex]A \times \emptyset= \emptyset \times B = \emptyset[/tex].
Definiamo relazione su [tex]A[/tex] verso [tex]B[/tex] un qualsiasi sottoinsieme [tex]f \subset A \times B[/tex].
Ora chiamiamo funzione (o applicazione) su [tex]A[/tex] verso [tex]B[/tex] una relazione [tex]f[/tex] che goda delle due seguenti proprietà:
1) [tex](\forall x)(x \in A \Rightarrow (\exists y)(y \in B \land (x,y) \in f))[/tex];
2) [tex](\forall x )(x \in A \Rightarrow (\forall y1)(\forall y2)((y1 \in B \land y2 \in B) \Rightarrow (((x,y1) \in f \land (x,y2) \in f) \Rightarrow y1=y2)))[/tex]
Se [tex]A=\emptyset[/tex] le due implicazioni sono "vere a vuoto" [spero sia una terminologia un minimo standard], quindi esistono applicazioni definite in [tex]\emptyset \times B[/tex];
al contrario, se [tex]A \not = \emptyset[/tex] e [tex]B=\emptyset[/tex] si ha che 1) è falsa, quindi non esistono applicazioni definite in [tex]A \times \emptyset[/tex] ([tex]A \not = \emptyset[/tex]).
Questo mi porta a domandarmi: quanto senso ha (alla luce di tale questione) la convenzione [tex]A \times \emptyset= \emptyset \times B = \emptyset[/tex]?
I due insiemi sono formalmente uguali (all'insieme vuoto), ma esistono funzioni (in realtà è unica, e in particolare [tex]f=\emptyset[/tex]) definite in [tex]\emptyset \times B[/tex], ma non funzioni definite in [tex]A \times \emptyset[/tex] ([tex]A \not = \emptyset[/tex])
[tex]A \times B \stackrel{def}{=}\{z: z \in P(P(A \cup B)) \land (\exists x)(\exists y)(x \in A \land y \in B \land z=\{\{x\},\{x,y\}\}) \}[/tex]
Evidentemente, in tale definizione non sono contemplati i casi con [tex]A[/tex] o (non esclusivo) [tex]B[/tex] vuoti; per convenzione si pone [tex]A \times \emptyset= \emptyset \times B = \emptyset[/tex].
Definiamo relazione su [tex]A[/tex] verso [tex]B[/tex] un qualsiasi sottoinsieme [tex]f \subset A \times B[/tex].
Ora chiamiamo funzione (o applicazione) su [tex]A[/tex] verso [tex]B[/tex] una relazione [tex]f[/tex] che goda delle due seguenti proprietà:
1) [tex](\forall x)(x \in A \Rightarrow (\exists y)(y \in B \land (x,y) \in f))[/tex];
2) [tex](\forall x )(x \in A \Rightarrow (\forall y1)(\forall y2)((y1 \in B \land y2 \in B) \Rightarrow (((x,y1) \in f \land (x,y2) \in f) \Rightarrow y1=y2)))[/tex]
Se [tex]A=\emptyset[/tex] le due implicazioni sono "vere a vuoto" [spero sia una terminologia un minimo standard], quindi esistono applicazioni definite in [tex]\emptyset \times B[/tex];
al contrario, se [tex]A \not = \emptyset[/tex] e [tex]B=\emptyset[/tex] si ha che 1) è falsa, quindi non esistono applicazioni definite in [tex]A \times \emptyset[/tex] ([tex]A \not = \emptyset[/tex]).
Questo mi porta a domandarmi: quanto senso ha (alla luce di tale questione) la convenzione [tex]A \times \emptyset= \emptyset \times B = \emptyset[/tex]?
I due insiemi sono formalmente uguali (all'insieme vuoto), ma esistono funzioni (in realtà è unica, e in particolare [tex]f=\emptyset[/tex]) definite in [tex]\emptyset \times B[/tex], ma non funzioni definite in [tex]A \times \emptyset[/tex] ([tex]A \not = \emptyset[/tex])