Limite lodevole

Oltre la matematica elementare: teoria, esercizi, e riflessioni sulle varie branche della matematica che si fanno all'università.
Rispondi
Gizeta
Messaggi: 826
Iscritto il: 27/11/2013, 17:16

Limite lodevole

Messaggio da Gizeta »

Calcolare a mente (e scrivere il risultato con annesso ragionamento qui :lol: )

[tex]\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}+...+\sqrt[n]{n}}{n}}[/tex]
Rho33
Messaggi: 489
Iscritto il: 16/09/2014, 11:14

Re: Limite lodevole

Messaggio da Rho33 »

Bon, premetto che non ho ancora studiato queste cose, quindi di analisi so davvero poco, quindi ho provato questo esercizio in modo diverso, come se fosse una stima di TdN :oops:

Metto in spoiler, per paura della grande quantità di scemenze :oops:
Testo nascosto:
Quel limite fa $1$ ! L'osservazione chiave è che $\sqrt[k] k$ è circa il numero di potenze $k \text{-esime} \ \ \leq k$. Ora è chiaro che ogni addendo fa $1$ al crescere di $n$ (e quindi quell'infinito là sotto si mangia tutto) , cioè soltanto $1$ è una tale potenza (ad esempio, il numero di potenze quinte $<5$ è $1$, poiché $x^k>k$ per $x \geq 2$), e dato che vi sono $n$ addendi, viene ovviamente:

$$ \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}+...+\sqrt[n]{n}}{n}}= \dfrac {n}{n}=1$$

Chiedo molto umilmente un commento e soprattutto una eventuale correzione :oops:
Veritasium
Messaggi: 206
Iscritto il: 30/03/2015, 20:36

Re: Limite lodevole

Messaggio da Veritasium »

Sinceramente non credo proprio che funzioni, ovvero dire "[tex]k^{\frac{1}{k}}[/tex] è circa il numero di potenze [tex]k-[/tex]esime [tex]\le k[/tex]" ha poco senso, poiché appunto questo numero è sempre [tex]1[/tex]. Poi che il limite faccia [tex]1[/tex] può anche essere, ma andrebbe mostrato che il numeratore [tex]f(n)[/tex] è [tex]n + o(n).[/tex] Ora mostro che si ha comunque [tex]f(n) > n + log n[/tex]. Se poniamo [tex]g(n) = f(n) - n[/tex] si ottiene facilmente, essendo [tex](1 + 1/n)^n < e[/tex] che [tex]g(n) >> \sqrt 2 - 1 + \sum_{k=3}^{n} k^{-1} = \sqrt 2 - 1 + log n + c - 3/2 = O(log n)[/tex] (dove [tex]c[/tex] è Eulero Mascheroni è le uguaglianze sono prese al limite) poiché con ognuno dei termini arriviamo massimo fino a [tex]e[/tex] invece che [tex]k[/tex]. Quindi la nostra [tex]g[/tex] cresce più velocemente di [tex]log n[/tex] e quindi non è proprio cosi piccola, ma sarà probabilmente lo stesso [tex]o(n)[/tex].
Rho33
Messaggi: 489
Iscritto il: 16/09/2014, 11:14

Re: Limite lodevole

Messaggio da Rho33 »

Bhe, diciamo che mi aspettavo una risposta del genere :oops: Purtroppo non ho le conoscenze per capire tutto il tuo messaggio, ma quelle "O" indicano una specie di errore/resto, sbaglio? Perché fino ad ora le avevo viste solo in informatica, in particolare "O grande" e presumo abbia una funzione simile in matematica :oops:
Lasker
Messaggi: 834
Iscritto il: 17/03/2013, 16:00

Re: Limite lodevole

Messaggio da Lasker »

Bonus: Calcolare anche il limite
$$\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{k=0}^n \sqrt[k]{k!}}{n^2}$$
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

#FREELEPORI
Veritasium
Messaggi: 206
Iscritto il: 30/03/2015, 20:36

Re: Limite lodevole

Messaggio da Veritasium »

Lasker ha scritto:Bonus: Calcolare anche il limite
$$\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{k=0}^n \sqrt[k]{k!}}{n^2}$$
È
Testo nascosto:
[tex]\frac{1}{2e}[/tex]
?
E soprattutto, c'è un modo "elementare" senza Stirling?
Lasker
Messaggi: 834
Iscritto il: 17/03/2013, 16:00

Re: Limite lodevole

Messaggio da Lasker »

@Veritasium: Sì e sì! (sempre che non abbia sbagliato)
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

#FREELEPORI
Gizeta
Messaggi: 826
Iscritto il: 27/11/2013, 17:16

Re: Limite lodevole

Messaggio da Gizeta »

Uhm, nel primo il "truccone" consiste nel vedere

[tex]\frac{\displaystyle \sum_{k=1}^n \sqrt[k]{k}}{\displaystyle n}[/tex]

come media di Cesàro della "successione" [tex]\{n \mapsto \sqrt[n]{n}:\mathbb{N}-\{0\} \rightarrow \mathbb{R}\}[/tex], e per roba più o meno nota risulta che il limite della "successione" delle medie è equivalente a [tex]\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{(\sqrt[n]{n})}=1[/tex].

Su due piedi non so dire se tale trucco possa essere riciclato in qualche modo furbo per il limite di Lasker :roll:
Lasker
Messaggi: 834
Iscritto il: 17/03/2013, 16:00

Re: Limite lodevole

Messaggio da Lasker »

Eh, il mio truccone è più potente :lol:
Testo nascosto:
Diciamo più propriamente che è una generalizzazione piuttosto estesa del tuo!
Comunque la dimostrazione del "cannone" non usa fatti noti o idee strane, quindi dovrebbe venire direttamente dalla definizione di limite senza troppa fatica, quindi non spoilero!
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

#FREELEPORI
Rispondi