Bon, premetto che non ho ancora studiato queste cose, quindi di analisi so davvero poco, quindi ho provato questo esercizio in modo diverso, come se fosse una stima di TdN
Metto in spoiler, per paura della grande quantità di scemenze
Testo nascosto:
Quel limite fa $1$ ! L'osservazione chiave è che $\sqrt[k] k$ è circa il numero di potenze $k \text{-esime} \ \ \leq k$. Ora è chiaro che ogni addendo fa $1$ al crescere di $n$ (e quindi quell'infinito là sotto si mangia tutto) , cioè soltanto $1$ è una tale potenza (ad esempio, il numero di potenze quinte $<5$ è $1$, poiché $x^k>k$ per $x \geq 2$), e dato che vi sono $n$ addendi, viene ovviamente:
Chiedo molto umilmente un commento e soprattutto una eventuale correzione
Re: Limite lodevole
Inviato: 07/08/2016, 22:21
da Veritasium
Sinceramente non credo proprio che funzioni, ovvero dire "[tex]k^{\frac{1}{k}}[/tex] è circa il numero di potenze [tex]k-[/tex]esime [tex]\le k[/tex]" ha poco senso, poiché appunto questo numero è sempre [tex]1[/tex]. Poi che il limite faccia [tex]1[/tex] può anche essere, ma andrebbe mostrato che il numeratore [tex]f(n)[/tex] è [tex]n + o(n).[/tex] Ora mostro che si ha comunque [tex]f(n) > n + log n[/tex]. Se poniamo [tex]g(n) = f(n) - n[/tex] si ottiene facilmente, essendo [tex](1 + 1/n)^n < e[/tex] che [tex]g(n) >> \sqrt 2 - 1 + \sum_{k=3}^{n} k^{-1} = \sqrt 2 - 1 + log n + c - 3/2 = O(log n)[/tex] (dove [tex]c[/tex] è Eulero Mascheroni è le uguaglianze sono prese al limite) poiché con ognuno dei termini arriviamo massimo fino a [tex]e[/tex] invece che [tex]k[/tex]. Quindi la nostra [tex]g[/tex] cresce più velocemente di [tex]log n[/tex] e quindi non è proprio cosi piccola, ma sarà probabilmente lo stesso [tex]o(n)[/tex].
Re: Limite lodevole
Inviato: 07/08/2016, 22:41
da Rho33
Bhe, diciamo che mi aspettavo una risposta del genere Purtroppo non ho le conoscenze per capire tutto il tuo messaggio, ma quelle "O" indicano una specie di errore/resto, sbaglio? Perché fino ad ora le avevo viste solo in informatica, in particolare "O grande" e presumo abbia una funzione simile in matematica
come media di Cesàro della "successione" [tex]\{n \mapsto \sqrt[n]{n}:\mathbb{N}-\{0\} \rightarrow \mathbb{R}\}[/tex], e per roba più o meno nota risulta che il limite della "successione" delle medie è equivalente a [tex]\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{(\sqrt[n]{n})}=1[/tex].
Su due piedi non so dire se tale trucco possa essere riciclato in qualche modo furbo per il limite di Lasker
Re: Limite lodevole
Inviato: 12/08/2016, 23:58
da Lasker
Eh, il mio truccone è più potente
Testo nascosto:
Diciamo più propriamente che è una generalizzazione piuttosto estesa del tuo!
Comunque la dimostrazione del "cannone" non usa fatti noti o idee strane, quindi dovrebbe venire direttamente dalla definizione di limite senza troppa fatica, quindi non spoilero!
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