Successione convergente

[polarized]

$$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{n}{2^n}=2$$
L'ho incontrata svolgendo un esercizio e l'ho calcolata grazie a woframalpha
C'é un modo più o meno elementare per ottenere questo risultato? È intero e le mie speranze si basano su questo

[Gizeta]

Beh, riesci a trovare una "formula" per [tex]\displaystyle \sum_{n=1}^{N}{\frac{n}{2^n}}[/tex]?
Suggerisco di considerare

Testo nascosto:

[tex]\displaystyle \sum_{n=1}^{N}{\frac{n}{2^n}}=\displaystyle 2 \left (\sum_{n=1}^{N}{\frac{n}{2^n}} \right)-\displaystyle \sum_{n=1}^{N}{\frac{n}{2^n}}[/tex]

Sei in grado di mostrare la convergenza e calcolare il limite per [tex]\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{2^n}}[/tex]?

Cliccami (solo dopo averci pensato intensamente!).

[Rho33]

Se non sto sbagliando di grosso (ed è probabile dato che siamo in MNE ), dovrebbe venire spezzando le varie frazioni ed usando la formula della serie geometrica (non progressione, ovvero quella che si dimostra facendo il limite). Se scrivi i primi termini della sequenza ottieni:

$$\dfrac {1}{2}+ \dfrac {2}{4}+ \dfrac {3}{8}+ \dfrac {4}{16}+ \dots$$

Li puoi riscrivere come:

$$\dfrac {1}{2}+( \dfrac {1}{4}+ \dfrac {1}{4})+ ( \dfrac {1}{8}+ \dfrac {1}{8}+ \dfrac {1}{8})+ ( \dfrac {1}{16} +\dfrac {1}{16}+ \dfrac {1}{16} +\dfrac {1}{16})+ \dots$$

Ora basta raggruppare in modo furbo:

$$\left ( \dfrac {1}{2}+ \dfrac {1}{4}+ \dfrac {1}{8}+ \dfrac {1}{16}+ \dots \right )+\left ( \dfrac {1}{4}+ \dfrac {1}{8}+ \dfrac {1}{16}+ \dfrac {1}{32}+ \dots \right )+ \left ( \dfrac {1}{8}+ \dfrac {1}{16}+ \dfrac {1}{32}+ \dfrac {1}{64}+ \dots \right )+ \dots$$

Ora ricordando che:

$$ \sum _{k=0}^ {\infty}ar^k= \dfrac {a}{1-r} \qquad |r|<1$$

Quindi ottieni:

$$1 + \dfrac {1}{2}+ \dfrac {1}{4}+ \dots = 2$$

[Rho33]

Oops, anticipato! Comunque fighissimo quel thread che hai linkato, grazie!

[polarized]

Suggerisco di considerare

[tex]\displaystyle \sum_{n=1}^{N}{\frac{n}{2^n}}=\displaystyle 2 \left (\sum_{n=1}^{N}{\frac{n}{2^n}} \right)-\displaystyle \sum_{n=1}^{N}{\frac{n}{2^n}}[/tex]

L'utilità del tuo suggerimento è che in RHS si elidono dei termini? Avendo visto cose simili in genere l'idea è quella ma qui non la intravedo


BONUS: In maniera similare a questo punto credo si possa risolvere la ricorsione $$ a_n=a_{n-1}+n\lambda^n $$
Qualche idea?

[Gizeta]

Se non ti piace quella puoi considerare anche [l'idea è la stessa]

[tex]\displaystyle \sum_{n=1}^{N}{\frac{n}{2^n}}=2\left (\sum_{n=1}^{N}{\frac{n}{2^n}}-\frac{1}{2} \left (\sum_{n=1}^{N}{\frac{n}{2^n}} \right)\right)= 2\left (\left(\sum_{n=0}^N{\frac{1}{2^n}} \right ) -\left (\frac{N}{2^{N+1}}+1 \right) \right)[/tex]

E penso siam tutti d'accordo per [tex]\displaystyle \lim_{N \rightarrow \infty}{\left (\frac{N}{2^{N+1}} +1\right )}=1[/tex].

[polarized]

Ah che stupido! Grazie mille! Mi sono accorto solo ora del pattern che c'è dietro!

[Rho33]

Per quanto riguarda la tua successione, come euristica ti posso dire che:

La soluzione generale la sai trovare: $a_n= \alpha$

La soluzione particolare con il mostro $n \cdot \lambda ^n$ di solito è del tipo:

$$a_n=(cn+d) \cdot \lambda ^n$$

Questo perché hai il prodotto di un polinomio di primo grado e di un esponenziale, e sai trovare la soluzione in entrambi i casi singoli. Non so, prova a trovare la formula chiusa per:

$$a_0=0 \qquad a_n=a_{n-1}+n \cdot 4^n$$ sfruttando quello che ti ho detto (la ho inventata e risolta velocemente, quindi potrei avere sbagliato i conti, ma dovrebbe avere una forma semplice).

[polarized]

Ho provato a fare il caso generale (continuo a non capire quale sia la tua "euristica", questi problemi sono abituato ad affrontarli in questo modo e non ho ben chiaro come li fai tu, se magari mi linki la fonte da dove li hai studiati tu ti ringrazio )


Sia
$$ b_n=a_n - (n+\frac{1}{\lambda-1})\frac{\lambda^{n+1}}{\lambda -1}
$$
Dove i vari coefficienti sono stati trovati in maniera tale che sostituendo nel testo ottenga $$ b_n=b_{n-1} $$
Da cui $$ a_n=b_0 + (n+\frac{1}{\lambda-1})\frac{\lambda^{n+1}}{\lambda -1}$$ E ricavando $b_0$ si ha $$ a_n=a_0 - \frac{\lambda}{(\lambda-1)^2} + (n+\frac{1}{\lambda-1})\frac{\lambda^{n+1}}{\lambda -1} $$

Il che fa abbastanza schifo. Mettendo però $\lambda=\frac 1 2 $ e $a_0=0$ (forse $a_1=\frac 1 2 $ se non si vuole rischiare di sbagliare) si ottiene una successione per ricorrenza equivalente a quella del testo:

$$ a_n= -2 -\frac{n}{2^n}+ \frac{1}{2^{n-1}} $$
Che però differisce da quella trovata da Gizeta. Qualcuno mi corregge?

[Rho33]

Studiati un qualsiasi A3 Medium (io mi ricordo di aver seguito quello di scambret tempo fa, che dava tante idee per le ricorrenze, ma alla fine uno deve sostanzialmente essere creativo con le cose da provare). Mi sa che hai un errore di segno nella tua formula, la formula generale di $a_n= a_{n-1}+ n \cdot \lambda ^n \ \ \ \text{con} \ \ \ a_0=0$ è:

$$a_n= \dfrac {((\lambda -1)n-1)\lambda ^{n+1}+\lambda}{(\lambda-1)^2}$$ e Wolfram mi dà ragione