Olimpiadi della Matematica Torino - OliMaTO - Forum

[tex]4⋅log(x)+2x−1=1[/tex]

qualcuno mi puo aiutare non so come risolvere questa equazione grazie

Si tratta di un'equazione trascendentale, che non può essere risolta algebricamente. Quello che puoi fare è di osservare che, scritta in forma equivalente come [tex]4 \cdot \log(x) + 2x - 2=0[/tex], la funzione [tex]f(x)=4 \cdot \log(x) + 2x[/tex], definita per tutti e soli gli [tex]x>0[/tex], è strettamente crescente, avendo derivata prima pari a [tex]f'(x)=\frac{4}{x}+2[/tex]. Parimenti, [tex]f(1/e) = -4+2/e-2 < -5 < 0[/tex], mentre [tex]f(1)= 0+2-1 = 1 > 0[/tex], quindi per il teorema di esistenza degli zeri e la crescita stretta esiste una e una sola soluzione, nell'intervallo [tex]\left(\frac{1}{e},1\right)[/tex]. Per calcolarla esplicitamente con un'approssimazione a piacere, utilizza una tecnica numerica, come il metodo di bisezione (la più semplice concettualmente, ma anche la più lenta a convergere) o il metodo di Newton (visto che tanto la derivata l'hai già dovuta calcolare per provare l'unicità della soluzione).

Se qualcosa non ti è chiaro (ho messo insieme diversi concetti di matematica degli ultimi anni delle superiori), chiedi pure, nel caso se possibile sostituisco dei passaggi con altri che facciano uso di strumenti più elementari (non è detto che però lo si possa fare su tutto).

non mi e ancora molto chiaro puoi farlo con i passaggi

Hmm, procediamo con calma allora. In che tipo di scuola stai studiando, e a quale anno di corso sei? Così so cosa sai e cosa no.

sto facendo analisi 1 da solo per universita

Quindi ti sei già diplomato? Che scuola hai fatto? Perché tra licei ed istituti tecnici, tra scientifici e classici... il programma cambia un po', o meglio cambia quello che si riesce a fare nelle ore di lezione.

tecnico pero mi dici cosa centra tutto questo?

Per capire che cosa hai visto a scuola. Le derivate dovresti averle fatte, hai visto anche i teoremi principali? Il fatto che quella funzione cresca si può anche dimostrare senza farne uso, ma con esse si minimizza il ragionamento grazie all'ottenimento diretto di risultati.