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Il membro di sinistra modulo 3 diventa: [tex]1^x+1^y+1^z=3[/tex] quindi è un multiplo di 3

Cerco quando la parte a sinistra diventa 0 modulo 9, cioè è un multiplo di 9:
I residui della potenza 4 modulo 9 sono:
[tex]1^4 = 1[/tex]
[tex]2^4 = 4[/tex]
[tex]3^4 = 7[/tex]
se vogliamo che i 3 addendi sommati facciano 0 o un multiplo di 9 abbiamo queste 3 possiblità:
[tex]1+1+7 \Rightarrow x=1, y=1, z=7[/tex] o una permutazione di questi
[tex]4+4+1 \Rightarrow x=4, y=4, z=1[/tex] o una permutazione di questi
[tex]7+7+4 \Rightarrow x=7, y=7, z=4[/tex] o una permutazione di questi

in pratica si passa da un di quelle tre soluzioni ad un altra. Alegebricamente vediamo:
[tex]4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1}=4 \cdot 4^x + 4 \cdot 4^y +4 \cdot 4^z = 4(4^x + 4^y +4^z)[/tex]
per cui anche a secondo membro si moltiplica per 4 cioè si moltiplica n per 2

Supponiamo senza perdita di generalità [tex]x \geq y \geq z[/tex]. Allora, se [tex]n[/tex] è dispari, dovrà essere per forza [tex]z=0[/tex].

Per [tex]n=3[/tex] otteniamo [tex](x,y,z)=(1,1,0)[/tex], e quindi per [tex]n=3 \cdot 2^m[/tex] si ottiene [tex](x,y,z)=(m+1,m+1,m)[/tex], per ogni [tex]m[/tex] intero non negativo.

Per [tex]n=9[/tex] otteniamo [tex](x,y,z)=(3,2,0)[/tex], e quindi per [tex]n=9 \cdot 2^m[/tex] si ottiene [tex](x,y,z)=(m+3,m+2,m)[/tex], per ogni [tex]m[/tex] intero non negativo.

In generale, per [tex]n=2 \cdot 4^k+1[/tex], otteniamo [tex](x,y,z)=(2k+1,k+1,0)[/tex], e quindi per [tex]n=2^m(2 \cdot 4^k+1)[/tex] si ottiene [tex](x,y,z)=(2k+m+1,k+m+1,m)[/tex], per ogni coppia [tex]k,m[/tex] di interi non negativi. Si sviluppi il quadrato [tex](2 \cdot 4^k+1)^2 = 4 \cdot 4^{2k} + 4 \cdot 4^k + 1 = 4^{2k+1} + 4^{k+1} + 1[/tex] per verificarlo.

Come mai non possono esserci altre soluzioni per quei valori di [tex]n[/tex], a meno delle ovvie permutazioni? E cosa succede se [tex]n[/tex] è multiplo di 3, ma non della forma [tex]n=2^m(2 \cdot 4^k+1)[/tex] ?