Supponiamo senza perdita di generalità [tex]x \geq y \geq z[/tex]. Allora, se [tex]n[/tex] è dispari, dovrà essere per forza [tex]z=0[/tex].
Per [tex]n=3[/tex] otteniamo [tex](x,y,z)=(1,1,0)[/tex], e quindi per [tex]n=3 \cdot 2^m[/tex] si ottiene [tex](x,y,z)=(m+1,m+1,m)[/tex], per ogni [tex]m[/tex] intero non negativo.
Per [tex]n=9[/tex] otteniamo [tex](x,y,z)=(3,2,0)[/tex], e quindi per [tex]n=9 \cdot 2^m[/tex] si ottiene [tex](x,y,z)=(m+3,m+2,m)[/tex], per ogni [tex]m[/tex] intero non negativo.
In generale, per [tex]n=2 \cdot 4^k+1[/tex], otteniamo [tex](x,y,z)=(2k+1,k+1,0)[/tex], e quindi per [tex]n=2^m(2 \cdot 4^k+1)[/tex] si ottiene [tex](x,y,z)=(2k+m+1,k+m+1,m)[/tex], per ogni coppia [tex]k,m[/tex] di interi non negativi. Si sviluppi il quadrato [tex](2 \cdot 4^k+1)^2 = 4 \cdot 4^{2k} + 4 \cdot 4^k + 1 = 4^{2k+1} + 4^{k+1} + 1[/tex] per verificarlo.
Come mai non possono esserci altre soluzioni per quei valori di [tex]n[/tex], a meno delle ovvie permutazioni? E cosa succede se [tex]n[/tex] è multiplo di 3, ma non della forma [tex]n=2^m(2 \cdot 4^k+1)[/tex] ?