L'immagine mostra una linea spezzata partente in $O$. L'$n$-esimo segmento della linea è lungo $1/n$ e , alla fine di ogni segmento , la linea gira di $60°$ in verso antiorario.
Per $n\to\infty$ , la linea tende a un certo punto $P$. Che punto è?
Un Esagono Armonico
Un Esagono Armonico
L'immagine mostra una linea spezzata partente in $O$. L'$n$-esimo segmento della linea è lungo $1/n$ e , alla fine di ogni segmento , la linea gira di $60°$ in verso antiorario.
Per $n\to\infty$ , la linea tende a un certo punto $P$. Che punto è?
Re: Un Esagono Armonico
A occhio si fa con le generatrici...
Tu hai un metodo diverso?
Tu hai un metodo diverso?
Re: Un Esagono Armonico
Io uso complessi e Taylor , che sì alla fine sono sempre generatrici (serie di potenze) anche se non direttamente... comunque sì si fa anche con le generatrici ma devi trovare brutte primitive 
infatti all'inizio avevo provato così ma non mi andava di trovarle 
edit: ripensandoci anche la mia è proprio una generatrice , quindi sì... dipende da qual è poi, comunque non è difficile
infatti all'inizio avevo provato così ma non mi andava di trovarle edit: ripensandoci anche la mia è proprio una generatrice , quindi sì... dipende da qual è poi, comunque non è difficile
Re: Un Esagono Armonico
Sisi, la serie di potenze con i reciproci dei natuarli, che è tipo l'integrale di $1/(1-x) $, che sarà qualcosa con il logaritmo e poi quella va valutata nella radice sesta dell'unità... i conti poi magari li scrivo a casa 
Re: Un Esagono Armonico
Bon, sia $$\displaystyle f(x):=\sum_{i\ge1}\dfrac 1 i x^{i-1}=1+\dfrac1 2x+\dfrac1 3x^2+\dots$$
Quello che cerchiamo è $\displaystyle f\left(\frac{1+i\sqrt3}2\right)$.
Vediamo che $D(xf(x))=1+x+x^2+\dots=\dfrac1{1-x}$. Quindi $$\displaystyle xf(x)={\int\dfrac1{1-x}}=-\log(1-x)$$
e allora $$\displaystyle f\left(\frac{1+i\sqrt3}2\right)=\dfrac{-\log\left(1-\frac{1+i\sqrt3}2\right)}{\frac{1+i\sqrt3}2}$$
Bene, $\displaystyle1-\frac{1+i\sqrt3}2=\frac{1-i\sqrt3}2=e^{\dfrac{-i\pi}3}$ e quindi $\displaystyle-\log\left(1-\frac{1+i\sqrt3}2\right)=\dfrac{i\pi}3$. Non ci resta ora che fare la divisione e otteniamo $$\displaystyle f\left(\frac{1+i\sqrt3}2\right)=\pi\dfrac{i+\sqrt3}6$$
Questo per dare un'idea dei conti da fare...
Il mio problema è che, non sapendo nulla di analisi complessa nè tantomeno di analisi reale, non so quali passaggi siano leciti e perché; in particolare
- l'effettiva convergenza in quel valore, poiché $R=1$ (il limite del reciproco della radice n-esima dell'n-esimo termine), ma so che convergono solo in $|z|<R$, mentre sul cerchio di raggio $R$ fanno cose buffe a caso
- l'integrare funzioni a caso, senza estremi di integrazione e soprattutto sui complessi (valgono le stesse regole di derivazione e integrazione?)
- il logaritmo complesso, che ha infinite soluzioni, in quanto $e^{i\theta}=e^{i(\theta+2\pi)}$: quale prendere?
in pratica: finché le tratto come serie formali ci so abbastanza lavorare, in quanto posso fare quello che voglio; i problemi sorgono quando devo considerarle come funzioni analitiche per valutarle in un certo punto...
Quello che cerchiamo è $\displaystyle f\left(\frac{1+i\sqrt3}2\right)$.
Vediamo che $D(xf(x))=1+x+x^2+\dots=\dfrac1{1-x}$. Quindi $$\displaystyle xf(x)={\int\dfrac1{1-x}}=-\log(1-x)$$
e allora $$\displaystyle f\left(\frac{1+i\sqrt3}2\right)=\dfrac{-\log\left(1-\frac{1+i\sqrt3}2\right)}{\frac{1+i\sqrt3}2}$$
Bene, $\displaystyle1-\frac{1+i\sqrt3}2=\frac{1-i\sqrt3}2=e^{\dfrac{-i\pi}3}$ e quindi $\displaystyle-\log\left(1-\frac{1+i\sqrt3}2\right)=\dfrac{i\pi}3$. Non ci resta ora che fare la divisione e otteniamo $$\displaystyle f\left(\frac{1+i\sqrt3}2\right)=\pi\dfrac{i+\sqrt3}6$$
Questo per dare un'idea dei conti da fare...
Il mio problema è che, non sapendo nulla di analisi complessa nè tantomeno di analisi reale, non so quali passaggi siano leciti e perché; in particolare
- l'effettiva convergenza in quel valore, poiché $R=1$ (il limite del reciproco della radice n-esima dell'n-esimo termine), ma so che convergono solo in $|z|<R$, mentre sul cerchio di raggio $R$ fanno cose buffe a caso
- l'integrare funzioni a caso, senza estremi di integrazione e soprattutto sui complessi (valgono le stesse regole di derivazione e integrazione?)
- il logaritmo complesso, che ha infinite soluzioni, in quanto $e^{i\theta}=e^{i(\theta+2\pi)}$: quale prendere?
in pratica: finché le tratto come serie formali ci so abbastanza lavorare, in quanto posso fare quello che voglio; i problemi sorgono quando devo considerarle come funzioni analitiche per valutarle in un certo punto...
Re: Un Esagono Armonico
Bè quanto a dubbi teorici sto messo come te, ma credo che comunque questo caso possa essere riportato al Criterio di Leibniz per la convergenza di serie a segni alterni : infatti possiamo considerare le 3 direzioni $1 , e^{i\pi/3},e^{2i\pi/3}$ : quello che cerchiamo è
$(1-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{13}+\cdots) +\\
e^{i\pi/3}(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{11}+\cdots)+\\
e^{2i\pi/3}(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{12}+\cdots)$
Quelle serie infatti convergono (il loro valore dovrebbe essere $\displaystyle\int{\dfrac{1}{1+x^3}},\int{\dfrac{ x}{1+x^3}},\int{\dfrac {x^2}{1+x^3}}$ valutate in $1$)
$(1-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{13}+\cdots) +\\
e^{i\pi/3}(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{11}+\cdots)+\\
e^{2i\pi/3}(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{12}+\cdots)$
Quelle serie infatti convergono (il loro valore dovrebbe essere $\displaystyle\int{\dfrac{1}{1+x^3}},\int{\dfrac{ x}{1+x^3}},\int{\dfrac {x^2}{1+x^3}}$ valutate in $1$)
Re: Un Esagono Armonico
Per il logaritmo : io ho sempre visto che si prendevano valori $\theta \in (-\pi,\pi]$ , ma non so niente sul perché o se non si possono prendere altri
Re: Un Esagono Armonico
Per l'integrazione : in effetti quello che si fa sulla serie è l'integrale da $0$ a un certo altro valore $x$ che noi chiamiamo come la variabile precedente, tanto per farti un esempio $\displaystyle\int_0^x \! \dfrac1{1-x} \, \mathrm{d}x = -\log(1-x) - (-\log(1-0))=-\log(1-x)$ , perchè in effetti fai $\displaystyle\int_0^x \! (1+x+x^2+\dots) \, \mathrm{d}x$ che membro a membro porta alla forma che vogliamo.
Re: Un Esagono Armonico
La variabile di integrazione conviene prenderla differente dall'estremo mobile. Solo notazione, ma è formalmente più corretto. 