$$\sum_{i=1}^n i^k = \sum_{m=1}^k m!\begin{Bmatrix} k \\ m \end{Bmatrix}{n+1 \choose m+1}$$
Dove per $\begin{Bmatrix} a \\ b \end{Bmatrix}$ si intende il numero di modi di partizionare un insieme di $a$ elementi in $b$ sottoinsiemi non-vuoti,
cioè, i numeri di Stirling del secondo tipo.
Io l'ho messo qui perché l'ho dimostrato tramite le solite generatrici, anche se credo si possa fare anche elementarmente (credo eh
).Mi pare di aver visto anche una dimostrazione sull' Engel di questo fatto (diversa dalla mia).