Salve a tutti : )

[Gerald Lambeau]

Salve a tutti, sono nuovo, mi presento: il mio nome è Marco, sono della provincia di Lucca e frequento un Liceo Scientifico sezione Scienze Applicate.
Quando ero in prima sono arrivato primo alla gara provinciale per le classi prime (quante ripetizioni che ho fatto, ) e non ho più riprovato fino a quest'anno nel quale vorrei riuscire a passare la provinciale per arrivare a Cesenatico.
Il mio nickname è un riferimento all'omonimo professore del film Will Hunting - Genio Ribelle.
Arrivederci a tutti!
PS: la mia età è data da un intero [tex]x[/tex] il quale è la soluzione intera positiva più piccola al seguente sistema di equazioni: [tex]\displaystyle \begin{cases} x=10a+b=nm \\ y=10b+a=n(m+12) \end{cases}[/tex] (ovviamente si chiede la [tex]x[/tex]) con tutte le incognite intere positive.
Il mio anno di corso è uguale a [tex]n-1[/tex].

[Federico II]

Ciao Marco, con interi intendi interi qualsiasi, interi positivi o interi non negativi? Formulato così sembra interi qualsiasi, ma visto che le incognite sono età e anno di corso c'è qualche problemino con i numeri negativi... spiegati meglio!

[Toadino2]

Benvenuto

Ad ogni modo, penso che tu di anni ne abbia 15... giusto?

Mettiamo a=1, b=5, n=3 ed m=5. Abbiamo
x=10+5=3*5
y=50+1=3*17(5+12)
Abbiamo dunque x=15 ed y=51. Ho indovinato? In questo modo, posso anche dedurre che, anche avendo tu 15 anni, frequenti il 2° anno di corso, in quanto n=3, 3-1=(ovviamente) 2. E mi sembra appropriata sia l'età che l'anno Ho indovinato anche stavolta?

(In effetti, ha ragione anche Federico, la soluzione potrebbe riproporsi coi numeri negativi:
x=-10(=10*-1)-5=-3*5 (avendo x=-15)
y=-50(=10*-5)-1=-3*17
L'equazione resta corretta, ma non credo che tu frequenti il -4° anno di corso con -15 anni sul groppone )

[Livex]

Aggiungo che si risolve univocamente (a meno di errori miei) in [tex]\mathbb{N}[/tex] xD

Benvenuto!

[Gerald Lambeau]

Complimenti Toadino, ragionamento perfetto! Ovviamente avevo verificato che fosse almeno la soluzione più piccola Livex, poi se è unica ben venga .
Federico scusa, sì sono interi positivi, ora correggo .

[Livex]

Beh ho supposto che non hai 8 anni, non so se è lecito

[Gerald Lambeau]

Quello mi pare scontato . Comunque se hai verificato che non esistono nemmeno soluzioni maggiori meglio .

[Toadino2]

Beh, quello è già un punto di partenza, se non altro XD

@Gerald: grazie

Comunque non saprei dire se sia l'unica o meno... Io ho presupposto che dovessi avere di certo tra i 13 ed i 20 per essere nelle Olimpiadi di Matematica, quindi era ovvio che a fosse 10 (o 0, e dunque b un numero dopo questo, ma in tal caso y>130 ed era difficile fare ricadere l'equazione in un valore tale, considerato anche che 1<n<7. Poi avrebbe dovuto n(m+12) avere un valore terminante in 0, quindi già scarti 3 e 6...e poi basta, non mi va di ragionare XD) e quindi provando tutti i numeri possibili di b ho trovato quello che meglio soddisfava la condizione, cioè 5. Da lì ho ricavato il resto.
Però... fammi fare qualche calcolo e forse ti trovo qualcosa di maggiore.

[Toadino2]

Già trovata... ed in tal caso avresti 150 anni ed andresti al 29° anno di corso XD

x=100+50=30*5
y=500+10=30*17
Ottenendo appunto n=30 ed x=150

[Livex]

[tex]\displaystyle \begin{cases} x=10a+b=nm \\ y=10b+a=n(m+12) \end{cases}[/tex].

Sottraggo membro a membro ottenendo [tex]9(b-a)=12n[/tex] da cui [tex](*) 3(b-a)=4n[/tex] quindi 3 divide [tex]n[/tex], siccome non puoi essere in 75° esima liceo [tex]n=\{ 2,3,4,5,6 \}[/tex], tra questi di divisibili per 3 sono [tex]3,6[/tex]

Se [tex]n=3[/tex] la tua età è [tex]x=3m[/tex], inoltre [tex]b-a=4[/tex] che genera i numeri [tex]x= \{04,15,26,37,48,59 \}[/tex], i divisibili per 3 tra questi sono [tex]15,48[/tex], se avessi [tex]48[/tex] anni, [tex]m=\frac {48}3[/tex], e per la seconda equazione si avrebbe [tex]84=3 \cdot 16 +36=84[/tex], quindi potresti avere 48 anni effettivamente. Se invece avessi 15 anni otteniamo i nostri numeri.

Se n=6, per [tex](*)[/tex] abbiamo [tex]b-a=8[/tex] che genera [tex]19,08[/tex], tuttavia [tex]x=6m[/tex] e nessuno dei due numeri è divisibile per 6, perciò non possono essere la tua età.

Quindi ora il vero dilemma, hai 15 o 48 anni?