Olimpiadi della Matematica Torino - OliMaTO - Forum

Lasker ha scritto:Allora, vogliamo risolvere $x^n+y^n=z^n$ con $x,y,z,n\in \mathbb{N}$, supponiamo senza perdita di generalità $y\geq x$, ovviamente si ha inoltre $z>y$. Riscrivendo l'equazione in modo da isolare $x$ e fattorizzando la differenza di $n$-esime potenze si ottiene
$$x^n=z^n-y^n=(z-y)\left(\sum_{i=0}^{n-1}y^{i}z^{n-1-i}\right)$$
Stimando il RHS ricordandoci che $z>y\geq x$ otteniamo
$$x^n=(z-y)\left(\sum_{i=0}^{n-1}y^{i}z^{n-1-i}\right)>(1)\left(\sum_{i=0}^{n-1}x^{i}x^{n-1-i}\right)=nx^{n-1}$$
Quindi $x^n$ è maggiore della sua derivata per ogni $x$, chiamando dunque $f(x)=x^n$ stiamo cercando soluzioni della disequazione differenziale $f(x)>f'(x)$, separando le variabili ottengo dunque
$$f(x)>f'(x)\Rightarrow f(x)>\frac{df}{dx}\Rightarrow \frac{df}{f}=dx\Rightarrow \int\frac{1}{f(x)}df(x)>\int dx\Rightarrow \ln\left|f(x)\right|+C>t$$
E quindi $f(x)>Ce^{x}$, ma $f$ era un polinomio e $e^x$ è definitamente più grande di ogni polinomio, quindi non ci sono soluzioni.

Lasker ha scritto:Infatti $5^5$ non è soluzione dell'equazione di Fermat , visto che ho supposto questa cosa all'inizio ho trovato una disuguaglianza vera per $(x,y,z)$ che soddisfano $x^n+y^n=z^n$! Comunque il ragionamento del pdf è molto lungo e contoso, come ho mostrato Non serve poi chissà che per dimostrare questo lemmino!