La strada che penso possa portare ad una dimostrazione segue sempre la via delle Sommatorie, che opportunamente usate consentono di "visualizzare" in modo molto semplice cosa succede ai numeri.
Partendo dalla nota, e troppo spesso ignorata o dimenticata, formulazione dei quadrati:
[tex]A^2 = \sum_{x=1}^{A} (2x-1)[/tex]
Notiamo che ha come caratteristica che i termini 2x-1 possono essere riportati come tante colonne su un piano cartesiano, e che il loro valore massimo risulta "lineare", quindi è facilmente individuabile un'area trapezoidale sottostante...
Non serve essere dei geni per vedere che è possibile "linearizzare" qualsiasi potenza PARI di interi come:
[tex]A^n = A^{2p} = \sum_{x=1}^{A^{(n/2)}} (2x-1)[/tex]
E quelle dispari come:
[tex]A^n= A^{(2p-1)} = \sum_{x=1}^{A^{((n-1)/2)}} (2xA-A)= A \sum_{x=1}^{A^{(p-1)}} (2x-1)[/tex]
Ci tengo alla notazione x=indice in quanto, a differenza dei "puristi astrattisti" io ho sempre bisogno di vedere di cosa sto parlando su un grafico disegnato su un pezzo di carta...
Ora il problema di Beal risulta ben più semplice di quello di Fermat, in quanto escluse le possibili soluzioni con un unico esponente comune n, capito che si tratta di eguagliare le aree di due o tre trapezi (talvolta semplicemente già disegnati, talvolta invece tali aree vanno opportunamente "trattate")
La dimostrazione è belle che fatta: per pareggiare le aree esistono poche combinazioni possibili (escludendo quelle duplicate).
Purtroppo io devo fare altro per vivere e molte persone dipendono da me, quindi, dopo la faticaccia per Fermat (alla quale nessuno a quanto pare sia interessato..., anche solo per dire che è evidentemente errata...) non ho tempo per mettermi a scrivere altro codice LaTex, nè per litigare con Axiv o supplicare qualcuno per pubblicarlo...
Di seguito alcuni esempi:
c'è ancora qualche errore nelle etichette, ma non ho tempo di sistemarli ora...
Quì un altro caso semplice:
Quì la soluzione per questi due casi semplici:
Segue un terzo caso in cui va introdotto una specie di fattore di scala...
La dimostrazione segue la tediosa via dell'esaurimento di tutti (i per fortuna pochi) casi possibili (escluso esponente comune) che sono una combinazione degli unici possibili "trapezoidi".
La limitazione ai casi possibili è data, ovviamente, anche dai valori massimi / minimi di X / Y ricavabili da semplici considerazioni algebriche.
Questa NON é LA dimostrazione, quindi lungi da me (e spero da Voi) dal perdere tempo a sostenere il contrario (inviare insulti etc...)...
Capito come funziona è solo questione di avere il tempo per mettersi a spulciare ed eliminare tutti i vari casi possibili nei limiti imposti....
Sostanzialmente utilizzare le sommatorie di Gnomoni per affrontare i problemi realtivi alle potenze di interi / razionali, semplifica notevolmente la vita.
E' quella che chiamo "il mio ingranaggio (algebra) a modulo complicato" in quanto anzichè avere una congruenza rispetto ad un numero fisso c'è una congruenza al risultato di una funzione nota: (X^n-(X-1)^n) per le potenze.
Ed il tutto è immaginabile come un orologio a 2 lancette.... per il quale credo di aver già preso abbastanza insulti quindi non lo re-inserisco quì...
... voi che state ai piani più alti... chiedete ai signori della matematica perchè la cosa è così ripugnante che in 8 anni nessuno sembra volerla prendere in considerazione.... Verrei volentieri a fare quattro chiacchiere in dipartimento... ma a quanto pare non interessa a nessuno....
grazie
ciao
Stefano