Olimpiadi della Matematica Torino - OliMaTO - Forum

L'esercizio chiedeva, dato k numero intero positivo, per quante coppie (x,y) di numeri reali maggiori o uguali a 0 vale
x^(2k)+y^(2k)=(xy)^k

Io ho risposto B, considerando (0,0) come unica coppia che soddisfa la relazione.

E' vero, se $x\ge y$ allora $x^{2k}+y^{2k}\ge x^{2k} \ge (xy)^k$ quindi deve essere per forza $y=0$ e quindi $x=0$. Peccato che io ero convinto che $x,y$ non potessero essere 0 quindi ho risposto $A$

Non specificava che x ed y dovessero essere positivi ? .. Io ho risposto A, ovvero 0 combinazioni, credendo che gli 0 non andassero considerati come numeri positivi .

Accidenti, pure io sono caduto nello stesso tranello... avevo letto positivi

Allora siamo in 4!

Anche io ho risposto 1 sola coppia. L'ho risolta come un'equazione di secondo grado in incognita xᵏ, ottenendo discriminante=-3y²ᵏ, che è maggiore o uguale a zero solo per y=0. Correggetemi se sbaglio!

x e y possono essere supposti coprimi, in caso contrario si raccoglie il fattore comune e lo si elide.

[tex](x^k)^2+(y^k)^2=x^ky^k[/tex]

Notiamo che [tex]x^k[/tex] divide sia il primo termine del membro sinistro che il termine al membro destro, quindi [tex]x^k|(y^k)^2[/tex] ed essendo [tex](x,y)=1[/tex] [tex]x^k|y^k[/tex], per simmetria risulta [tex]y^k|x^k[/tex], quindi [tex]x=y[/tex]. Sostituendo si arriva a

[tex]2x^{2k}=x^{2k}[/tex], che ha soluzione solo per [tex]x=y=0[/tex].

Anche io fatto giusto il ragionamento e trovato che la coppia era 0 e 0 ma scritto A perché pensavo fosse non accettabile

anche io non ho considerato 0 fml ho messo A

@Gizeta: occhio che $x,y$ sono reali, non interi!

Comunque, se si pone $a=x^k$ e $b=y^k$ si ottiene la quadratica (in $a$, ad esempio) $a^2-ab+b^2=0$, che ha $\Delta=-3b^2\le0$, quindi non ci sono soluzioni a parte $(0,0)$