Archimede 2013 - Triennio 19

[ZOLLO_]

qualcuno me lo spiega?

[LeZ]

Ex: [tex]x^4+4=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)[/tex]

[hyoukarou]

Ex: [tex]x^4+4=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)[/tex]

Al massimo sono 9 prodotti, io avevo pensato che alcuni dei prodotti si dovessero cancellare e avevo pensato di scrivere esplicitamente i trinomi e vedere per quanti di essi si potesse fare questa cosa(idea alquanto folle ed inutile).
Come dimostreresti che sono 2 senza usare un esempio o l'identità di Sophie-Germain?

[il cusu]

Meno di due non si può fare, ma un esempio che mostra che si può fare con due lo devi dare.

[lorenzocollodi]

per dimostrare che sono al massimo 2 per trinomi di secondo grado si osserva che ax^2+bx+c)(a'x^2+b'x+c') da come risultato aa'(x^4)+(ab'+a'b)x^3+(bb'+a'c+ac')x^2+(bc'+b'c)x+cc'. di questi essendo a, b, c, a', b' e c' numeri interi<>0 si osserva che si possono annullare solo i termini x^3, x^2 e x. poi basta trovare un caso (vedi sopra) in cui si annullano tutti e 3 e puoi dire che il minimo è 2. in realtà penso basti vedere che i termini di grado minimo e massimo compaiono sempre una sola volta, quindi non si annullano mai, per poter dimostrare che una coppia p,q che da come risultato un f di un solo termine non esiste