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come si risolveva il 15? (quello del coefficiente della x)

Ciao, sono del triennio ma ho dato un'occhiata all'esercizio e l'ho risolto.
Non so se conosci il binomio di Newton,ma in poche parole sostiene che

[tex](x+y)^n={n \choose 0}x^n+{n \choose 1}x^{n-1}y+{n \choose 2}x^{n-2}y^2+...+{n \choose n}y^n[/tex]

dove [tex]{n \choose k}[/tex] è detto coefficiente binomiale ed è equivalente a [tex]\frac{n!}{k!(n-k)!}[/tex]; in termini di combinatoria, rappresenta il numero di modi di scegliere [tex]k[/tex] oggetti da un insieme di [tex]n[/tex] senza badare all'ordine.

Fatte queste premesse passiamo al problema.
Uso una semplice riscrittura per semplificare i calcoli: [tex]x^2+x+1= x^2+2x+1-x=(x+1)^2-x[/tex].
Sia [tex](x+1)^2=y[/tex], allora quel che vogliamo calcolare è [tex](y-x)^{100}[/tex]. Utilizziamo quanto detto prima:

[tex](y-x)^{100}={100 \choose 0}y^{100}-{100 \choose 1}y^{99}x...[/tex] e ci fermiamo.

Prendiamo il secondo termine: [tex]{100 \choose 1}y^{99}x[/tex], scriviamo nuovamente [tex]y[/tex] come quello che in realtà è:

[tex]{100 \choose 1}((x+1)^2)^{99}x[/tex], quindi [tex]{100 \choose 1}(x+1)^{198}x[/tex], il termine di grado maggiore di [tex](x+1)^{198}[/tex] è [tex]x^{198}[/tex] che moltiplicato per [tex]x[/tex] diventa [tex]x^{199}[/tex], di conseguenza il suo coefficiente è [tex]{100 \choose 1}[/tex].
In quanti modi scelgo un oggetto su cento? In cento.
Spero di essermi spiegato

grazie:) conoscevo l'algoritmo (x+y)^n ma non sapevo se si potesse applicare quando ci sono 3 termini

Ti ho risposto di là, ma a quanto vedo qui siete stati più prolissi.

Penso si possa fare un po' più semplicemente con il calcolo combinatorio. Immaginando il trinomio scritto per esteso (x^2+x+1)(x^2+x+1)...(x^2+x+1) sviluppando i conti avrai che x^200 compare solo una volta ovvero moltiplicando tutti gli x^2, mentre x^199 esattamente 100 volte infatti lo puoi ottere solo moltiplicando 99 volte x^2 e una volta x; la x la puoi scegliere in 100 modi diversi

Non penso sia molto giusto assegnare questo esercizio a un ragazzo del 1° come me

E' un esercizio che avrebbe lasciato interdetti anche la stragrande maggioranza degli studenti di 5', Luca...
E' una questione di mentalità, i giochi matematici, almeno nelle intenzioni, dovrebbero essere composti da esercizi che non riesci a risolverli solo guardandoli...
Per quelli, purtroppo, c'è già la scuola dell'obbligo.


Considera ogni esercizio che non sai risolvere come uno stimolo per ragionare e arrivare da te a una soluzione, senza che qualcuno ti spieghi l'esatto procedimento per risolverlo...altrimenti che gusto ci sarebbe?