Ciao, sono del triennio ma ho dato un'occhiata all'esercizio e l'ho risolto.
Non so se conosci il binomio di Newton,ma in poche parole sostiene che
[tex](x+y)^n={n \choose 0}x^n+{n \choose 1}x^{n-1}y+{n \choose 2}x^{n-2}y^2+...+{n \choose n}y^n[/tex]
dove
[tex]{n \choose k}[/tex] è detto coefficiente binomiale ed è equivalente a
[tex]\frac{n!}{k!(n-k)!}[/tex]; in termini di combinatoria, rappresenta il numero di modi di scegliere
[tex]k[/tex] oggetti da un insieme di
[tex]n[/tex] senza badare all'ordine.
Fatte queste premesse passiamo al problema.
Uso una semplice riscrittura per semplificare i calcoli:
[tex]x^2+x+1= x^2+2x+1-x=(x+1)^2-x[/tex].
Sia
[tex](x+1)^2=y[/tex], allora quel che vogliamo calcolare è
[tex](y-x)^{100}[/tex]. Utilizziamo quanto detto prima:
[tex](y-x)^{100}={100 \choose 0}y^{100}-{100 \choose 1}y^{99}x...[/tex] e ci fermiamo.
Prendiamo il secondo termine:
[tex]{100 \choose 1}y^{99}x[/tex], scriviamo nuovamente
[tex]y[/tex] come quello che in realtà è:
[tex]{100 \choose 1}((x+1)^2)^{99}x[/tex], quindi
[tex]{100 \choose 1}(x+1)^{198}x[/tex], il termine di grado maggiore di
[tex](x+1)^{198}[/tex] è
[tex]x^{198}[/tex] che moltiplicato per
[tex]x[/tex] diventa
[tex]x^{199}[/tex], di conseguenza il suo coefficiente è
[tex]{100 \choose 1}[/tex].
In quanti modi scelgo un oggetto su cento? In cento.
Spero di essermi spiegato