Sia $n$ un intero positivo $\ge 2$ e siano $x_1,x_2,\cdots , x_n$ dei reali non negativi minori o uguali ad $1$.
Dimostrare la seguente disuguaglianza : $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_i - \sum_{i=1}^{n} x_ix_{i+1} \le [\frac{n}{2}]$ dove con $[x]$ al solito si intende il più grande intero $\le x$.
Lemmino. Se $-1\le x,y,z\le 1$, allora $-xy-yz-zx\le1$. Dimostrazione. Se $x, y, z$ sono tutti positivi oppure negativi, la tesi è ovvia. Altrimenti, possiamo considerare soltanto il caso in cui $x, y\ge 0, z\le 0$ (infatti cambiando il segno a tutti il valore dell'espresisone $-xy-yz-zx$ rimane uguale). In questo caso abbiamo che
$$
-xy-yz-zx=-xy-1-z(x+y)+1\le-xy-1+(x+y)+1=-(1-x)(1-y)+1\le 1
$$
Ora passiamo al problema vero e proprio, che risolviamo per induzione su $n$.
$n=2$
La tesi è $a+b-ab-1\overset{?}{\le} 0$, ovvero $-(1-a)(1-b)\overset{?}{\le}0$, ovviamente vera.
$n=3$
La tesi è $a+b+c-ab-bc-ca\overset{?}{\le}1$. Consideriamo l'espressione $\chi=-((2a-1)(2b-1)+(2b-1)(2c-1)+(2c-1)(2a-1))$. Da un lato, per il Lemmino con $x,y,z\leftarrow(2a-1),(2b-1),(2c-1)$ vale $\chi\le1$, dall'altro
$$
\chi=-(4ab+4bc+4ca-4a-4b-4c+3)=4(a+b+c-ab-bc-ca)-3
$$
Quindi
$$
4(a+b+c-ab-bc-ca)-3\le1\implies a+b+c-ab-bc-ca\le 1
$$
$n\to n+2$
Possiamo supporre $WLOG$ che $x_{n+2}$ sia il minimo fra gli $x_i$, e inoltre che $x_{n+1}\ge x_1$. Allora
\begin{align*}
LHS=&\,x_1+\ldots+x_{n+2}-x_1x_2-\ldots-x_{n+1}x_{n+2}-x_{n+2}x_1\\
=&\,(x_1+\ldots+x_n-x_1x_2-\ldots-x_{n-1}x_n-x_nx_1)+x_{n+1}+x_{n+2}+x_nx_1-x_nx_{n+1}-x_{n+1}x_{n+2}-x_{n+2}x_1\\
\le&\,\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor+x_{n+1}+x_{n+2}+x_nx_1-x_nx_{n+1}-x_{n+1}x_{n+2}-x_{n+2}x_1\\
=&\,\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor+(x_1-x_{n+1})(x_n-x_{n+2})-(1-x_{n+1})(1-x_{n+2})-x_{n+1}x_{n+2}+1
\end{align*}
Ma ora $x_1-x_{n+1}\le 0$, $x_n-x_{n+2}\ge 0$, $(1-x_{n+1})(1-x_{n+2})\ge 0$, $x_{n+1}x_{n+2}\ge 0$, quindi
$$
LHS \le \left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor+1=\left\lfloor\frac{n+2}{2}\right\rfloor
$$
