Sia [tex]Z+[/tex] l’insieme degli interi positivi. Determinare tutte le funzioni [tex] f : Z+ → Z+[/tex] tali che il numero [tex]xf(x) + [f(y)]^2 + 2xf(y)[/tex] è un quadrato perfetto per tutti gli interi positivi x e y.
Ho svolto questo esercizio ma ho qualche piccolo dubbio sulla parte finale della dimostrazione che credo sia corretta ma non ne sono sicuro.
Soluzione
Testo nascosto:
Lemma 1:[tex]f(1)=1[/tex]
Dimostrazione
Valutiamo l'equazione per [tex]x,y=1[/tex]. Otteniamo [tex]f(1)+[f(1)]^2 + 2f(1)=a^2[/tex], per qualche intero positivo [tex]a[/tex]. Da questa si ottiene: [tex]f(1)[3+f(1)]=a^2[/tex]. Se [tex]f(1)[/tex] è un quadrato allora lo è anche [tex]f(1)+3[/tex] e quindi [tex]f(1)=1[/tex]. Supponiamo che [tex]f(1)[/tex] nom sia un quadrato, sfruttando il fatto che [tex]MCD(f(1),f(1)+3)=MCD(f(1),3)[/tex], si ha che il massimo comune divisore non può essere 1 perchè altrimenti [tex]f(1)[/tex] dovrebbe essere un quadrato. Quindi esso e uguale a tre e dunque [tex]f(1)[/tex] è della forma [tex]3t^2[/tex] per qualche intero [tex]t[/tex]. Quindi [tex]3t^2(3t^2+3)[/tex] è un quadrato. Ma [tex]1+6t^2+9t^4=(3t^2+1)^2<3t^2(3t^2+3)<4+(12*t^2)+(9*t^4)=(3t^2+2)^2[/tex], assurdo. Quindi [tex]f(1)=1[/tex].
Lemma 2:[tex]f(p)[/tex] è arbitrariamente grande al crescere di [tex]p[/tex], con [tex]p[/tex] numero primo.
Dimostrazione
Ponendo [tex]x=p,y=1[/tex], si ottiene [tex]pf(p) + [f(1)]^2 + 2pf(1)= a^2 \implies pf(p) +1 +2p=a^2 \implies f(p) =\frac{(a-1)(a+1)}{p}-2[/tex]. Dato che [tex]f(p)[/tex] è intero [tex]p|(x-1)(x+1)[/tex] e usando che [tex]f(p)>0[/tex] si ha che [tex]x \ge p-1[/tex]. Quindi [tex]f(p) \ge \frac{(p-2)(p)}{p}-2=p-4[/tex]. Quindi si ha la tesi ([tex]f(p)[/tex] cresce arbitrariamente al crescere di [tex]p[/tex]).
Supponiamo esista un intero positivo k tale che [tex]f(k) \neq k[/tex]. Per il lemma 2 esiste un primo [tex]p[/tex] tale che [tex]f(k)[/tex] e k sono "molto più piccoli" di [tex]f(p)[/tex]. Dimostriamo che [tex]kf(k) + [f(p)]^2 + 2kf(p)=(f(p)+k)^2[/tex]. Usando la nostra assunzione su p si ha : [tex](k+f(p)-1)^2=1-2k+k^2-2f(p)+2kf(p)+[f(p)]^2 \sim -2f(p)+2kf(p)+[f(p)]^2 <kf(k) + [f(p)]^2 + 2kf(p)<+2f(p)+2kf(p)+[f(p)]^2< 1+2k+k^2+2f(p)+2kf(p)+[f(p)]^2 =(k+f(p)+1)^2[/tex]. In queste stime abbiamo usato il fatto che i monomi in cui non compare [tex]f(p)[/tex] sono molto più piccoli (di una quantità arbitrariamente grande), di quelli in cui compare.
Quindi abbiamo ottenuto che [tex](k+f(p)-1)^2<kf(k) + [f(p)]^2 + 2kf(p)<(k+f(p)+1)^2[/tex], quindi se [tex]kf(k) + [f(p)]^2 + 2kf(p)[/tex] è un quadrato allora è [tex](f(p)+k)^2= k^2 + [f(p)]^2 + 2kf(p)[/tex] e quindi [tex]f(k)=k[/tex] (contraddicendo il fatto che che esiste un [tex]k[/tex] tale che [tex]f(k) \neq k)[/tex]. Di conseguenza se esiste una tale funzione deve essere [tex]f(x)=x[/tex] per ogni x intero positivo. Sostituendo si verifica che funziona, si ottiene infatti: [tex]xf(x) + [f(y)]^2 + 2xf(y)=x^2+y^2+2xy=(x+y)^2[/tex].
Ringrazio in anticipo chi mi risponderà confermandomi la correttazza o scrivendomi eventuali errori.
PS: ho scelto di metterlo nella sezione algebra anche se forse era più adatto teoria dei numeri, perchè secondo me ha molti caratteri algebrici.