Disuguaglianze - riarrangiamento e Chebycheff

[Drago]

Disuguaglianza di riarrangiamento
Date due $n$-uple di reali $(a_1,a_2,\dots,a_n)$ e $(b_1,b_2,\dots,b_n)$ tali che $a_1\le a_2\le\dots\le a_n$ e $b_1\le b_2\le\dots\le b_n$, allora $$\displaystyle\sum_{i=1}^na_ib_{n-i+1}\le\sum_{i=1}^na_ib_{\sigma(i)}\le\sum_{i=1}^na_ib_i$$ dove $\sigma(\cdot)$ è una permutazione di $\{1,2,\dots,n\}$

Disuguaglianza di Chebycheff
Date due $n$-uple come in riarrangiamento allora $$\displaystyle\frac{\sum_{i=1}^na_ib_{n-i+1}}n\le\left(\frac{\sum_{i=1}^na_i}n \right)\left(\frac{\sum_{i=1}^nb_i}n \right)\le\frac{\sum_{i=1}^na_ib_i}n$$

Disuguaglianze

[iTz_CaBe_95]

Non so come fare la dimostrazione ma una volta "capite" è tutto abbastanza ovvio e intuitivo.
La disuguaglianza di riarrangiamento sostanzialmente dice che date due n-uple ordinate:
-per avere la somma minore dei prodotti bisogna moltiplicare il più grande con il più piccolo, il secondo più grande con il secondo più piccolo, etc...
-per avere la somma massima dei prodotti bisogna moltiplicare il più grande con il più grande, il secondo più grande con i secondo più grande, etc...
-ovviamente se non si moltiplica nei due modi precedenti viene una somma con valore intermedio tra quello massimo e quello minimo
Chebycheff sostanzialmente dice che date due n-uple ordinate:
Il prodotto delle medie è minore o uguale alla media dei prodotti. Entrambi sono maggiori o uguali, per la disuguaglianza di riarrangiamento che ci dice il valore minimo, alla media dei prodotti del più grande con il più piccolo, il secondo più grande con il secondo più piccolo, etc...